Homojen Olmayan Bir Eşitsizlik

[Eray]

$a,b,c$ negatif olmayan gerçel sayıları için$$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2(ab+ac+bc)$$eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

Not: Bu soru, bu linkteki soruya oldukça benzerlik göstermektedir.

[geo]

$3$ negatif olmayan sayıdan en az ikisi $[0, 1)$, $[1, \infty)$ aralıklarından birinde olacaktır. Bu iki sayı $b$ ve $c$ olsun.
$$(b-1)(c-1) \geq 0$$ elde ederiz.
$$(a-1)^2 + 2a(b-1)(c-1)+(b-c)^2 \geq 0$$ eşitsizliğini açarsak $$\begin{array}{lll}f(a,b,c) &=& a^2-2a+1+2a(bc - b - c -1) + b^2 +c^2-2bc \\ &=& a^2+b^2+c^2 + 2abc + 1 -2ab-2bc-2ac \geq 0 \end{array}$$ elde ederiz. Bu da sorudaki eşitsizliğin aynısıdır.

Eşitlik durumu $a=b=c=1$ iken sağlanır.

[geo]

$a = x^3$, $b=y^3$, $c=z^3$ olsun.

$x^6 + y^6 + z^6 + 2x^3y^3z^3 + 1 \geq 2(x^3y^3 + x^3z^3 + y^3z^3)$ olduğunu göstereceğiz.

$AO \geq GO$ dan $\dfrac {x^3y^3z^3 + x^3y^3z^3 + 1}{3} \geq \sqrt[3] {x^6y^6z^6} = x^2y^2z^2$.

$x^6 + y^6 + z^6 + 2x^3y^3z^3 + 1 \geq x^6 + y^6 + z^6 + 3x^2y^2z^2$

Schur Eşitsizliği'nden ($t=1$ hali için) $$x^6 + y^6 + z^6 + 3x^2y^2z^2 \geq \underbrace{x^4y^2 + x^2y^4}_{(*)} + \underbrace{x^4z^2 + x^2z^4}_{(*)} + \underbrace{y^4z^2 + y^2z^4}_{(*)} $$ elde ederiz.
$(*)$ işaretli yerler için $AO \geq GO$ uygularsak $x^4y^2+ x^2y^4 \geq 2x^3y^3$, $x^4z^2 + x^2z^4 \geq 2x^3z^3$ ve $y^4z^2 + y^2z^4 \geq 2y^3z^3$ elde ederiz. Taraf tarafa topladığımızda $$x^6 + y^6 + z^6 + 2x^3y^3z^3 + 1 \geq x^6 + y^6 + z^6 + 3x^2y^2z^2 \geq 2x^3y^3 + 2x^3z^3 + 2y^3z^3$$ ispat tamamlanır.

Eşitlik durumu için ilk $AO \geq GO$ dan $x^3y^3z^3=1$, yani $x,y,z > 0$; ikinci $AO \geq GO$ dan $x^4y^2 = x^2y^4\Rightarrow x=y$ ve benzer şekilde $y=z$ gelecektir. Bu durumda $x^3y^3z^3 = x^9 = 1$ elde edilir. Dolayısıyla eşitlik durumu $x=y=z=1$ iken sağlanır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem Darij Grinberg'in 2004 yılındaki bir çalışmasına aittir. Benzer ispatlar için Vasile Cirtoaje'nin Algebraic Inequalities kitabının sayfa 17-18 kısmına bakılabilir.