10 elma, 5 armut 3 çocuğa her biri en az bir meyve alacak şekilde

[geo]

$10$ elma, $5$ armut $3$ çocuğa her biri en az $1$ meyve almak koşulu ile kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

[Lokman Gökçe]

Çözüm:

(a) Meyvelerin özdeş olmadığı düşünülürse, içerme dışarma prensibiyle $3^{15} - 3\cdot 2^{15} + 3\cdot 1^{15}$ olur.

(b) Aynı cins meyveler kendi içinde özdeş ise, problemin çözümü daha farklı olur. Birinci çocuk $x$ elma, $a$ armut almış olsun ...vs. Bu durumda,

$x+y+z=10$ ve $a+b+c=5$ denklemlerini çözeceğiz. Tüm negatif olmayan tam sayı çözümlerin sayısı $\dbinom{12}{2}\dbinom{7}{2}$ dir.

1. çocuğun $x=0$ elma ve $a=0$ armut alması durumunda $y+z=10$, $b+c=5$ olur. Çözümlerin sayısı $\dbinom{11}{1}\dbinom{6}{1}$ dir. Benzer işlemi diğer iki çocuk için de yapabiliriz.

1. ve 2. çocuğun meyve almaması durumunda $z=10$, $c=5$ şeklinde $1$ tek çözüm vardır. Bunu diğer çocuk ikilileri için de yapabiliriz.

İçerme dışarma prensibiyle, $$ \dbinom{12}{2}\dbinom{7}{2} - 3\cdot \dbinom{11}{1}\dbinom{6}{1} + 3\cdot 1 =  1191 $$

elde edilir.