Fermat'ın Çarpanlarına Ayırma Metodu

[geo]

$N=(155-1)^2-267$ sayısının kaç pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 2\qquad\textbf{b)}\ 3\qquad\textbf{c)}\ 4\qquad\textbf{d)}\ 6\qquad\textbf{e)}\ 8$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{c}$

Verilen sayıyı $a^2-b^2$ şeklinde yazarak çarpanlarına ayırmaya çalışalım:

$(155-1)^2-267=155^2-576=155^2-24^2=131\cdot 179$

$131$ ve $179$ sayıları kare köklerinden küçük sayılara bölünmediğinden asaldırlar ve dolayısıyla sayının iki tane asal böleni vardır. Buna göre

verilen sayının pozitif bölen sayısı $(1+1)(1+1)=4$ olur.

[geo]

Bu soru tipi kolaydan zora aşağıdaki gibi sorulabilir:

• $N = (155-1)^2 -267$
  
  
• $N = 154^2 -267$
  
  
• $N = 23449$

bkz. Fermat'ın Çarpanlarına Ayırma Metodu

[alpercay]

$N=23449$ olsun. Metottan anladığım $$N=a^2-b^2$$ olacak şekilde sayılar bulacağız. $$b^2=a^2-23449$$ olarak yazalım. Amacımız farkı kare yapan $a$ sayısını bulmak. $$\sqrt{23449}\cong 153,13$$ olduğundan $a=154$ alalım. $$b^2=154^2-23449=267$$ farkı kare olmaz. O zaman $a=155$ alalım. $$b^2=155^2-23449=576$$ $$b=24$$ bulunur.

Buna göre $$23449=a^2-b^2=155^2-24^2=131\cdot 179$$ olarak asal çarpanlarına ayrılır.

Bu sayılar asal olmasaydı metodu tekrar uygulardık.