İspat:(a) $n$ köşeli bir bağlantılı basit çizgede döngü yoksa bir ağaç olur. $n$ köşeli
bir ağaçta kenar sayısının $n-1$ olduğunu göstermiştik. Bu da kenar sayısının $\leq n$ olması ile çelişir.
(b) $n\geq 1$ köşeli bir ağaç çizgede $n-1$ kenar olması gerektiğini biliyoruz. $n$ köşeli bağlantılı (ve basit) bir $G$ çizgesinde kenar sayısının $n-1$ den az olamayacağını ispatlayalım.
Eğer $G$ döngü içermiyorsa bir ağaç olur ve kenar sayısı tam olarak $n-1$ dir.
Şimdi, $G$ döngü içeriyor olsun. Bu durumda $G$ nin kenar sayısı $e$ için $e< n-1$ olabilir mi? İnceleyelim. $G$ nin döngü oluşturmasını engelleyecek şekilde bazı yolları silmeye başlayalım. $(v_0, v_1, v_2, \dots, v_k)$ yolunu sildiğimiz zaman $v_0$ başlangıç köşesini ve $v_k$ bitiş köşesini silmiyoruz. Arada kalan kenarları siliyoruz. $k-1$ tane kenarı silmiş oluyoruz. Aradaki $k-1$ tane köşenin de tamamını veya bazılarını silmiş oluyoruz. Çünkü bir $v_i$ köşesi başka bir kenarın da uç noktası olabilir. Yani $(v_0, v_1, v_2, \dots, v_k)$ yolu üzerinden en çok $k-1$ tane köşe silmiş oluyoruz. Bu şekilde silme işlemleri yaparak, $G$ çizgesinden bir ağaç elde ederiz. $t$ tane kenar ve $t$ tane köşe silindiği zaman bu ağaçta $e-t$ tane kenar ve en çok $n-t$ tane köşe kalır.
$$\text{Ağaç Çizgenin Köşe Sayısı} \leq n - t < e - t - 1 \tag{1}$$
$$\text{Ağaç Çizgenin Köşe Sayısı} = \text{Ağaç Çizgenin Kenar Sayısı} -1 = e - t - 1 \tag{2}$$
eşitsizliklerinden çelişki elde edilir. Yani bağlantılı bir $G$ çizgesinde $e< n-1$ olamaz. O halde $e\geq n-1$ dir. El sıkışma teoremi gereğince $$ \displaystyle{\sum_{v\in G}}\deg(v) = 2e \geq 2(n-1) $$ sonucuna ulaşırız.
Eşitlik durumu ancak ve ancak $G$ bağlantılı çizgesi bir ağaç iken sağlanır. Çünkü $n-1$ kenarlı bağlantılı $G$ çizgesinde döngü varsa, yine döngü oluşmasına neden olan yolları silerek çizgeyi bir ağaca indirgeyip bir çelişki bulabiliriz.
$ \color{red}{\text{Dikkate Değer Bazı Sonuçlar:}}$
$ \color{red}\bullet $ $G$ ağaç çizgesindeki bağlantısız olan herhangi iki $v_1$, $v_2$ köşesini birleştirirsek mutlaka bir döngü oluşur.
$ \color{red}\bullet $ $G$ ağaç çizgesindeki bağlantı olan herhangi iki komşu $v_1$, $v_2$ köşesinin arasındaki $e$ kenarını kaldırırsak oluşan $G-e $ çizgesi bağlantısız olur.
