Dans Pistindeki Erkeklerin Sayısı {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Lise 1. Aşama için kolay-orta düzeyinde bir olasılık sorusu paylaşalım.


Problem [Lokman GÖKÇE]: Bir eğlence yerindeki her sandalyede bir davetli oturmaktadır. Müzik sesiyle beraber davetliler kalkıyor ve pistte dans ediyor. Müzik bitince davetliler eşit olasılıkla rastgele seçtikleri bir sandalyeye oturuyor. Sandalyeler birer kişiliktir ve ayakta kalan hiçbir davetli yoktur. Kadın davetlilerin danstan önceki sandalyelerine geri oturma olasılığı $\dfrac{1}{210}$ olduğuna göre, erkek davetlilerin sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{226}$

Davette $e$ tane erkek, $k$ tane kadın olsun. Geri oturma esnasında toplamda elde edilebilecek farklı oturmaların sayısı $(e+k)!$ olacaktır. İstenen durumunda ise (kadınların kendi yerine oturması durumu) sadece erkekler rastgele oturacağından $e!$ durum vardır. Yani $$\dfrac{e!}{(e+k)!}=\dfrac{1}{210}\implies 210=(e+1)(e+2)\cdots (e+k)$$ olur. $210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ olduğundan ardışık sayıların çarpımı olarak $210$, $14\cdot 15$ veya $5\cdot 6\cdot 7$ şeklinde yazılabilir. Başka şekilde yazılamayacağı, $7$'in durumu incelenerek görülebilir. Bu üç durumdan $(e,k)=(209,1),(13,2),(4,3)$ olabileceği bulunur. Erkeklerin sayısının alabileceği değerlerin toplamı $209+13+4=226$ bulunur.

Görüşüm: Gerçekten bu sorunun 1. aşamada sorulduğunu varsayalım. Çoğu kişi $e=209$ durumunu kaçıracağından şıklarda hem $17$ hem de $226$ olmalıdır. Bu iki şık arasındaki farkın çok fazla olmasından dolayı erkek yerine kadınların sayısının alabileceği değerlerin toplamı sorulması şıkların seçimi için daha uygun gibi geldi

[Lokman Gökçe]

Tebrikler Metin Can, çözümünüz doğru. Çözümde sizinkinden az farklı olarak yaptığım kısımları açıklayabilirim.


Çözüm 2: Yine davetteki erkek, kadın sayılarına sırasıyla $e, k$ diyelim. Olasılık $\dfrac{e!}{(e+k)!} = \dfrac{1}{210}$ olacaktır. $(e+k)! = 210\cdot e!$ yazılır.

$\color{red}\bullet$ $k=1$ durumunda $(e+1)! = 210\cdot e! \implies e+1 = 210$. Buradan $e=209$ bulunur.

$\color{red}\bullet$ $k=2$ durumunda $(e+2)! = 210\cdot e! \implies (e+2)(e+1) = 210 = 15\cdot 14$. Buradan $e=13$ bulunur.

$\color{red}\bullet$ $k=3$ durumunda $(e+3)! = 210\cdot e! \implies (e+3)(e+2)(e+1) = 210 = 7\cdot 6 \cdot 5$. Buradan $e=4$ bulunur.

$\color{red}\bullet$ $k \geq 4$ durumunda $ (e+4)(e+3)(e+2)(e+1) \mid 210 $ olması gerekir. Öte yandan ardışık dört pozitif tam sayıdan biri $4$ ün katı, biri de $4$ e bölünmeyen bir çift sayı olacağından $ 8\mid (e+4)(e+3)(e+2)(e+1)$ olmalıdır. Fakat $8 \nmid 210$ olduğundan, bu tür durumlardan bir çözüm gelmez.

Böylece $e\in \{ 4, 13, 209\}$ değerleri vardır ve istenen toplam $\boxed{226}$ olur.


Not: Burada ben de en kolay $e=209$ çözümünün bulunacağını düşünmüştüm. Diğer çözümlerden birinin ıskalanması daha kolay olabilir gibi geldi bana da. Sorunun hangi kısmı daha çeldiricidir? Metin Can ile farklı görüşler belirttik. Bunun deneyini yapmadan doğru karar vermek zor görünüyor. Dersi sabote etmeyecek şekilde, bir öğretmen arkadaşımızdan sınıf ortamında bu soruyu klasik olarak/yani seçenekler vermeden öğrencilerine çözdürmelerini isteyebiliriz. Daha sonra bu problemi çoktan seçmeli bir test sorusu yapacak olsam, her durumda çeldiriciliği artırmak için, $(e) \text{ Hiçbiri} $ seçeneğini koyardım.