L Trimino Parçalarla Kaplama Problemleri {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Buradaki problemi çözdükten sonra bazı yeni problemler düşündüm. Bunları paylaşalım:


Problem 1: $n\times n$ türündeki bir tahtanın bir birim karesi çıkarıldıktan sonra geriye kalan kısım $L$-trimino taşlarla kaplanacaktır. $L$-trimino, $2\times 2$ karenin bir birim karesinin çıkarılmasıyla elde edilen $3$ birim karelik şekildir. $3\mid n$ iken $n\times n$ tahtadan çıkarılan birim karenin seçilebileceği kaç farklı durum vardır?


Problem 2: $5\times 5$ türündeki bir tahtanın bir birim karesi çıkarıldıktan sonra geriye kalan kısım $L$-trimino taşlarla kaplanacaktır. $5\times 5$ tahtadan çıkarılan birim karenin seçilebileceği kaç farklı durum vardır?

[Lokman Gökçe]

Problem 1'in Çözümü:  Yanıt $0$ dır.

$3\mid n$ iken $n\times n$ tahtanın alanı da $3$  ile tam bölünebilen bir değerdir. Bu tahtadan bir birim kare çıkarılırsa, geriye kalan kaplanacak alan $3$ ile tam bölünemez. Öte taraftan $L$-trimino parçaların her biri $3$ birim kare kaplayabildiği için kaplanan toplam alan da $3$'ün katı olur, çelişki. Yani $n\times n$ kareden çıkarılabilecek birim kare için $0$ durum vardır.

[Lokman Gökçe]

Problem 2'nin Çözümü:  Yanıt $9$ dur.

$5 \times 5$ tahtayı mavi ve sarı yatay şeritler halinde boyayalım. $15$ mavi ve $10$ sarı birim kare vardır. $L$-triminoların $x$ tanesi $2$ mavi, $1$ sarı renkli ve $y$ tanesi de $1$ mavi, $2$ sarı renkli birim karelerden oluşsun.

Çıkarılan birim kare sarı renkli ise $2x + y = 15$ ve $x + 2y = 9$ olur. Buradan $x=7, y=1$ bulunur. Fakat bu durumda $2$ mavi, $1$ sarı içeren $7$ parçayı

biçiminde birleştirerek $3\times 2$ türünde alanlar kaplamamız gerekir. $5\times 5$ tahtaya en fazla bir tane $3\times 2$ türünde blok koyabiliriz. İkinci bir $3\times 2$ türünde blok koyacak olursak kalan kısımlara kaplama yapılamayacağı açıktır. $2$ mavi, $1$ sarı renkli $x=7$ tane $L$-triminoyu farklı konfigürasyonlarla birleştirmeyi denersek yine kaplamanın mümkün olmadığı görülür. Biraz deneme yapmak gerekiyor. (Çözümümün bu kısmı iyileştirebiliriz, katkı verilmeye açıktır.) O halde çıkarılan birim kare mavi renkli olabilir. Bu durumda $2x + y = 14$ ve $x + 2y = 10$ olur. $x=6, y=2$ dir.

Bu defa $5 \times 5$ tahtayı mavi ve sarı dikey şeritler halinde boyayalım. $15$ mavi ve $10$ sarı birim kare vardır. $L$-triminoların $x$ yanesi $2$ mavi, $1$ sarı renkli ve $y$ tanesi de $1$ mavi, $2$ sarı renkli birim karelerden oluşsun. Benzer fikirlerle, çıkarılan birim kare mavi renkli olmak zorundadır diyebiliriz. O halde çıkarılan birim kare, yatay mavi şeritlerle, dikey mavi şeritlerin arakesitinde olabilir. Bu şekilde $9$ nokta vardır. Bu $9$ tane noktanın her birinin $5\times 5$ kareden çıkarılabilir olduğunu aşağıdaki örneklerden görüyoruz.

Bu şekilleri tahtanın merkezi etrafında $90^\circ$ döndürerek toplam $9$ mavi noktanın çıkarılabilir olduğunu anlarız.