2007 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 13

[matematikolimpiyati]

$a,b,c,d$ pozitif tam sayılar ve $c>7,\ d>7$ olmak üzere$,\ a-25=c \cdot d$  ve  $37a+76=b \cdot d$ eşitliklerini sağlayan en küçük $a$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Hem $a-25$, hem de $37a+26$ sayıları $d$'ye bölündüğünden ebob'ları da $d$'ye bölünmelidir. $$(a-25,37a+26)=(a-25,37a+26-37(a-25))$$ $$=(a-25,951)$$ olacaktır. Yani $d\mid 951$ olmalıdır. $951=3\cdot 317$ olduğundan ve $d>7$ olduğundan $d=317$ veya $d=951$'dir. $c\geq 8$ ve $d\mid a-25$ olduğundan en küçük $a$ değeri $25+317\cdot 8=2561$ olacaktır. $5$'e bölümünden kalan $1$'dir.