Poisson dağılımı olarak bilinen ayrık olasılık dağılımının bir uygulamasıdır aslında bu soru. Formülü ise, ortalama mesaj sayısına $\lambda$, olasılığı istenilen mesaj sayısına da $k$ dersek istenilen olasılık $\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$'dir. Yani sorunun cevabı $\dfrac{e^{-10}\cdot 10^{10}}{10!}\approx \%12.5$.
Fakat benim odaklanmak istediğim kısım formülün nasıl elde edildiği. Bunun için de günü $n$ parçaya böleceğiz. Homojen bir dağılım olduğunu varsayaysak, bu her $n$ parçadan birinde mesaj gelme olasılığı aynıdır. Ufak $n$ değerlerinde bir dilimde birden fazla mesaj gelebilir ama $n$'yi çok çok büyük seçersek, tüm mesajların farklı dilimlerde geldiğini varsayabiliriz veya her dilimde en fazla bir mesaj geleceğini varsayarak bu yapıyı oluştururuz ve $n$'yi sonsuza yaklaştırırız, ikisinde de aynı sonuç çıkar.
Her dilimde mesaj gelme olasılığı $p_n$ olsun. Gelmeme olasılığı ise $1-p_n$ olacaktır. Bu durumda toplamda $k$ mesaj gelme olasılığı $\dbinom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}$ olacaktır. Bu bulduğumuz olasılıkta $n$'yi sonsuza gönderirsek de aradığımız sonuca ulaşırız. Ancak $p_n$'yi $n$ cinsinden bulmalıyız. Burada da ortalama mesaj sayısı devreye giriyor. Bunu aslında basit bir mantıkla görmek kolay ama biz yine de matematiksel sebebini de verelim. Basit hali,
Hilesiz bir bozuk parayı $n$ defa atıp sonuçlarına bakarsak beklenen tura sayısı $\dfrac{n}{2}$ olacaktır. Eğer hileli bir parayı kullanıyorsak ve tura gelme olasılığı $\dfrac{1}{3}$ ise $n$ atışta ortalama $\dfrac{n}{3}$ tane tura gelecektir. Yani tura gelme olasılığı $p$ ise beklenen tura sayısı $np$ olacaktır. Dolayısıyla bizim sorumuzda $\lambda=np_n$ olacak ve $p_n=\dfrac{\lambda}{n}$ bulacağız.
Matematiksel haline gelecek olursak, $k$ tane mesaj gelme olasılığı $\dbinom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}$ olduğundan beklenen değer $$\lambda=\sum_{k=0}^{n}k\cdot \dbinom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}$$ olacaktır. Eğer $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}$ yazarsak $$\lambda=\sum_{k=0}^{n}k\cdot \dfrac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}p_n^k(1-p_n)^{n-k}=np_n\cdot \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{k-1}p_n^{k-1}(1-p_n)^{n-k}=np_n(p_n+1-p_n)^{n-1}=np_n$$ elde edilir. Yani bulduğumuz olasılık $$\boxed{\dbinom{n}{k}\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k}}$$ Bu ifadenin $n$ sonsuza giderkenki değerini hesaplamalıyız. Bunun için ifadeyi parçalara ayıralım ve limit alalım. $$\text{Olasılık}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k-1)}{\underbrace{n\cdot n\cdot n\cdots n}_{k \text{ tane }}}\dfrac{\lambda^k}{k!}\cdot \left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^n\cdot \left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1\cdot \dfrac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}\cdot 1=\dfrac{\lambda^k\cdot e^{-\lambda}}{k!}$$
Böylece formülün nereden geldiğini de görmüş oluruz.
