Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$A$ sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için, $2x-3y=1$, $xy=7$ ve $x^2+y^2=A$ eşitliklerinin hepsini birden sağlayan $x$, $y$ gerçel sayıları bulunur?

$\textbf{a)}\ \dfrac{65}{4}  \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{15}{4}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac52  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$y=\dfrac{2x-1}{3}$ yazarsak $$xy=\dfrac{x(2x-1)}{3}=7\implies 2x^2-x-21=(x+3)(2x-7)=0$$ bulunur.

$x=-3$ ise $y=-\dfrac{7}{3}$ elde edilir. Buradan $A=x^2+y^2=\dfrac{130}{9}$ elde edilir.

$x=\dfrac{7}{2}$ ise $y=2$ elde edilir. Buradan da $A=x^2+y^2=\dfrac{65}{4}$ elde edilir.