Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2005 Soru 10

[matematikolimpiyati]

$625^{2005}+376^{2006}$ sayısının son üç rakamı nedir?

$\textbf{a)}\ 721  \qquad\textbf{b)}\ 601  \qquad\textbf{c)}\ 371  \qquad\textbf{d)}\ 121  \qquad\textbf{e)}\ 001$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Çözüm 1:

$625^2 = 390625 \equiv 625 \pmod{1000}$ ve $376^2 = 141376 \equiv 376 \pmod{1000}$ olduğundan her $n$ pozitif tam sayısı için $625^n \equiv 625 \pmod{1000}$, $376^n \equiv 376\pmod{1000}$ dir. Böylece $625^{2005} + 376^{2006} \equiv 625 + 376 \equiv 1001 \equiv 1 \pmod{1000}$ olur. Son üç rakam $001$ dir.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 1'deki kare alma işlemi akla gelmeyebilir veya genelde işe yaramasını ummayız. Bir başka çözüm deneyebiliriz.

Çözüm 2:
$1000 = 125 \cdot 8$ olarak çarpanlara ayrılır. $625 \equiv 0 \pmod{125}$ ve $625 \equiv 1 \pmod{8}$ dir.  Böylece  $625^2 \equiv 0 \pmod{125}$ ve $625^2 \equiv 1 \pmod{8}$ olup Çin kalan teoremi ile $625^2 \equiv 625 \pmod{1000}$ bulunabilir. Benzer biçimde,  $376 \equiv 1 \pmod{125}$ ve $376 \equiv 0 \pmod{8}$ dir. Yine,  $376^2 \equiv 1 \pmod{125}$ ve $376^2 \equiv 0 \pmod{8}$ olup Çin kalan teoremi ile $376^2 \equiv 376\pmod{1000}$ bulunabilir. Böylelikle, $625^{2005} + 376^{2006} \equiv 625 + 376 \equiv 1001 \equiv 1 \pmod{1000}$ olur. Son üç rakam $001$ dir.