Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 22

[matematikolimpiyati]

Kaç $n$ pozitif tam sayısı için $n^{\frac{18}{n}}$ tam sayıdır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$n=1$ istenileni sağlar. $m>1$ sayısı herhangi bir sayının birden büyük bir kuvveti olarak yazılamayan bir tamsayı olmak üzere, $k\geq 1$ için $n=m^k$ olarak yazabiliriz. Bu durumda $$n^{\frac{18}{n}}=m^{\frac{18k}{m^k}}\in\mathbb{Z}\implies m^k\mid 18k$$ elde edilir.

$k=1$ için $m\mid 18$ olacağından $n=m=2,3,6,18$ olabilir.

$k=2$ için $m^2\mid 36$, yani $m\mid 6$ olduğundan $n=m^2=4,9,36$ olabilir.

$k=3$ için $m^3\mid 54$, yani $m\mid 3$ olduğundan $n=m^3=27$ olabilir.

$k\geq 4$ için $m^k\mid 18k$ bize $18k\geq m^k\geq 2^k$ verir. Bir taraf üstel, diğer taraf lineer olduğundan bu eşitsizlik belli bir değerden sonra bozulacaktır. $k=4$ için zaten doğru olmadığından $k\geq 4$ için de doğru değildir. Buradan çözüm gelmez.

Sonuç olarak $n=1,2,3,4,6,9,18,27,36$ olmak üzere $9$ farklı değer alabilir.