Eisenstein Kriteri

[geo]

Eisenstein Kriteri:

$p$ verilen bir asal sayı, $$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z} [ x ]$$ olsun. Eğer $a_n \not \equiv 0 \pmod p$, $$a_{n-1} \equiv \cdots \equiv a_0 \equiv 0 \pmod p, \quad a_0 \not \equiv 0 \pmod {p^2}$$ ise, $f(x)$ polinomu $\mathbb{Z} [ x ]$ içinde indirgenemez.


Genelleştirilmiş Eisenstein Kriteri:

$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z} [ x ]$ olsun. Bir p asal sayısı ve $\ell < n$ için, $$a_n \not \equiv 0, a_\ell \not \equiv 0, \quad a_{\ell - 1} \equiv \cdots \equiv 0 \pmod p, \quad a_0 \not \equiv 0 \pmod {p^2}$$ ise $\mathbb{Z} [ x ]$ içinde, $f(x)$ indirgenemez veya $f(x)$ in derecesi en az $\ell$ olan ve indirgenemeyen bir çarpanı vardır.

[geo]

Kanıt:
İddianın doğru olmadığını varsayalım. O zaman $b_i,c_i \in \mathbb Z$ olmak üzere $$f(x) = (b_mx^m + \cdots + b_1x+b_0)(c_kx^k + \cdots + c_1x + c_0)$$ şeklinde yazılabilir ($m \geq 1$, $k \geq 1$ ve $n = m+k$).
Katsayılara bakarak $a_0 = b_0c_0$ olur. $a_0 \equiv 0 \pmod p$ ve $p$ asal olduğu için $b_0 \equiv 0 \pmod p$ veya $c_0 \equiv 0 \pmod p$ olmak zorundadır. $a_0 \not \equiv 0 \pmod {p^2}$ olduğu için de bunların her ikisi birden doğru olamaz.
Genelliği bozmadan $c_0 \equiv 0 \pmod p$ ve $b_0 \not \equiv 0 \pmod p$ olduğunu varsayalım.
$a_n = b_mc_k \not \equiv 0 \pmod p$ olduğu için $c_k \not \equiv 0 \pmod p$ olmak zorundadır ve $c_j \not \equiv 0 \pmod p$ özelliğini sağlayan $j$ indislerinin en küçüğünden söz edebiliriz. Bu en küçük indisi $r$ ile gösterelim. $c_0 \equiv 0 \pmod p$ olduğundan, $1\leq r$ ve $$c_{r-1} \equiv \cdots \equiv c_0 \equiv 0 \pmod p$$ olur. Bu durumda $$a_r = b_0c_r + b_1c_{r-1} + \cdots + b_rc_0 \equiv b_0c_r \pmod p.$$ $b_0 \not \equiv 0 \pmod p$ ve $c_r \not \equiv 0 \pmod p$ olduğu için $a_r \not \equiv 0 \pmod p$ olmak zorundadır. Hipoteze göre bu koşulu sağlayan tek katsayı $a_n$ olduğundan, $r=n$ bulunur. Buradan da $$n=m+k > k \geq r = n$$ çelişkisi çıkar.

Kaynak: Matematik Dünyası Cilt: 4 Sayı: 1 Sayfa: 24, 1994
Yazar: Mefharet KOCATEPE