Tuzağın kurulduğu yer ve avcının bulunduğu yer sürekli düzgün dağılım (continuous uniform distribution) olduğundan olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (density function) tanımlamakla başlayalım. $X$ rastgele değişkenini (random variable) $x=y\geq 0$ ışını üzerindeki tuzağın orijinden uzaklığı olarak tanımlayalım. $Y$ rastgele değişkenini ise avcının bulunduğu konumun orijinden uzaklığı olarak tanımlayalım. $Y$ değişkeni $X$ değişkenine bağlıdır. O yüzden koşullu yoğunluk fonksiyonu (conditional density function) elde edeceğiz. $$f(x)=\dfrac{1}{100}, ~~~ 0 \leq x\leq 100$$ $$f\left (y\mid x\right )=\dfrac{\sqrt{2}}{x}, ~~~ 0\leq y\leq \dfrac{x\sqrt{2}}{2}$$ Sürekli ortak yoğunluk fonksiyonunu (continuous joint density function) bulabiliriz çünkü $f(x,y)\cdot f(x)=f\left (y\mid x\right )$'dir. Buradan $$f(x,y)=\dfrac{\sqrt{2}}{100x}, ~~~ 0\leq y\sqrt{2}\leq x\leq 100$$ Bizden istenilen olasılık ise $X+\left(\dfrac{X\sqrt{2}}{2}-Y\right)\leq 50$ olasılığıdır. Eklentideki resimde de görülebileği gibi bu olasılığı bulmak için sürekli ortak yoğunluk fonksiyonunun $OAB$ üçgeninde integralini almalıyız. $OAB$ bölgesini $OAD-ABD$ olarak yazabiliriz buradan, $$P\left(X+ \dfrac{X\sqrt{2}}{2}-Y\leq 50\right)= \int_{0}^{50}\int_{0}^{\frac{x\sqrt{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{100x}dydx-\int_{50(2-\sqrt{2})}^{50}\int_{0}^{\frac{x(2+\sqrt{2})}{2}-50} \frac{\sqrt{2}}{100x}dydx=\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{\left(\dfrac{1}{2-\sqrt{2}}\right)}}{\sqrt{2}}\right)=-\dfrac{\ln{(2-\sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$$ Yani cevap $\boxed{-\dfrac{\ln{(2-\sqrt{2})}}{\sqrt{2}} \approx 0.378}$ olacaktır.
Not: Terimlerin ingilizce karşılıklarını parantez içinde ekledim böylece araştırmak isteyenler daha kapsamlı kaynaklar bulabilirler.
