z Cetveli Kullanımı

[Lokman Gökçe]

Bu soru üzerinde standart normal dağılım fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonu ve $z$ cetveli ile ilgili bir çalışma yapalım:



Soru: Ortalaması $50.8$, standart sapması $29.9$ olan bir sınavda

(a) bir öğrenci ortalamadan $4$ standart sapma uzaklıkta bir puan almıştır. Negatif puan yoktur. Bu öğrencinin puanı kaçtır?


(b) bir öğrenci $66$ puan almıştır. Bu öğrencinin puanı, ortalamadan kaç standart sapma fazladır?

(c) bir öğrenci $66$ puan almıştır. Sınavdaki puanların normal dağılım (Gauss dağılımı) gösterdiği bilindiğine göre bu öğrencinin yüzdelik dilim olarak sıralaması kaçtır?

(d) Sınavdaki puanların normal dağılım (Gauss dağılımı) gösterdiği bilindiğine göre, başarı dilimi $\% 66$ olan bir öğrencinin bu sınavdan aldığı puan kaçtır? ($\% 99 - \% 100 $ aralığı en başarılı olanların, yani en yüksek puana sahip olanların bulunduğu aralıktır.)

[Lokman Gökçe]

Çözümler:


(a) $50.8 + 4\cdot 29.9 =  170.4$ puan almıştır. Tam sayı bir puan alındığı düşünülürse $170$ puan alınır diyebiliriz.

(b) $\dfrac{66 - 50.8}{29.9} = 0.5083$ olduğundan öğrencinin puanı yaklaşık olarak ortalamadan $0.5$ standart sapma ileridedir.

(c) Gauss dağılımı gösterdiği verililiyor. Birikimli Standart Normal Dağılım Fonksiyonu $\Phi (x)$ olsun. Örneğin:

$\bullet$ Ortalama kadar puan alındığında (ortalamadan $0$ standart sapma ilerideyken) $\Phi(0) = \dfrac{1}{2}=0.5$ olup sıralama $\% 50$'de demektir.

$\bullet$ Ortalamadan $0.5$ standart sapma ilerideyken $\Phi(0.5) =0.6904$ olup sıralama  yaklaşık $\% 69$'da demektir. Bunun için integral hesaplama gerekir veya $z$-cetveli gerekir veya biz basitçe Birikimli Normal Dağılım Fonksiyonu grafiğindeki $x$ değişkenini sürükleyelim.



$z$ cetveli nasıl kullanılır bağlantısından bunu öğrenebiliriz. Bağlantıdaki tabloda ise yaklaşık olarak $\Phi(0.5) = 0.6915$ olduğunu görüyoruz. Bu da öğrencinin başarı diliminin $\% 69$'da olduğunu gösterir. ($\% 99 - \% 100 $ aralığı en başarılı olanların, yani en yüksek puana sahip olanların bulunduğu aralıktır.)



(d) Burada $\Phi(z) = 0.66$ denklemini sağlayan $z$ değerini bulmamız isteniyor. Yine birikimli dağılım fonksiyonu grafiğini veya $z$ cetvelini kullanırsak $\Phi( 0.42) = 0.66$ olmaktadır. O halde öğrencinin sınav puanı $x$ (tam sayı) olmak üzere $ 50.8 + 0.42\cdot 29.9 = 63.358$ olup $x=63$ elde edilir.