a&b) Polinomumuz $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ olsun. $x\geq 0$ için bu polinomun artan olduğu barizdir çünkü katsayılar pozitiftir. Dolayısıyla $P(0)=e<P(1)=2$ olacağından $e=1$ olmalıdır. Yani $a+b+c+d=1$ olacaktır. Her $x$ tamsayısı için $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ polinomu da tamsayıdır. $$Q(x)=a(4x^3+6x^2+4x+1)+b(3x^2+3x+1)+c(2x+1)+d$$ $$=4ax^3+(6a+3b)x^2+(4a+3b+2c)x+(a+b+c+d)$$ olacaktır. $R(x)=Q(x+1)-Q(x)$ polinomu da benzer şekilde her $x$ tamsayısı için tamsayı çıkacaktır. $$R(x)=4a(3x^2+3x+1)+(6a+3b)(2x+1)+(4a+3b+2c)$$ $$=12ax^2+(24a+6b)x+(14a+6b+2c)$$ olacaktır. Benzer şekilde $H(x)=R(x+1)-R(x)$ için $$H(x)=12a(2x+1)+(24a+6b)=24ax+(36a+6b)$$ olacaktır. Eğer $H(x+1)-H(x)$'i de incelersek, $24a$'nın tamsayı olması gerektiğini görürüz. Ayrıca $0<a<a+b+c+d=1$ olduğundan $1\leq u\leq 23$ tamsayısı için $a=\frac{u}{24}$ formatındadır. $$H(0)=36a+6b\in\mathbb{Z}\implies 6b+12a\in\mathbb{Z}$$ olduğundan bir $v$ pozitif tamsayısı için $b=\frac{v-12a}{6}=\frac{2v-u}{12}$ formatında olmalıdır. $$R(0)=14a+6b+2c\in\mathbb{Z}\implies 2a+2c\in\mathbb{Z}$$ olacağından bir $w$ pozitif tamsayısı için $c=\frac{w-2a}{2}=\frac{12w-u}{24}$ formatında olmalıdır. Son olarak da $d=1-a-b-c$ olduğundan $d=\frac{12-6w-2v+u}{12}$ elde edilir. Yani polinom $$P(x)=\frac{ux^4+(4v-2u)x^3+(12w-u)x^2+(24-12w-4v+2u)x+24}{24}$$ $$=x+1+\frac{u(x^4-2x^3-x^2+2x)+4v(x^3-x)+12w(x^2-x)}{24}$$ formatında bulunur. $x^3-x=(x-1)x(x+1)$ olduğundan her $x$ ve $v$ tamsayısı için $4v(x^3-x)$ ifadesi $24$'e bölünür. Benzer şekilde $x^2-x=(x-1)x$ olduğundan $12w(x^2-x)$ ifadesi de $24$'e bölünür. $$x^4-2x^3-x^2+2x=(x-2)(x-1)x(x+1)$$ olduğundan $4!=24$'e bölünecektir. Yani sadece katsayıları pozitif yapmalıyız.
Buradan $u,v,w>0$, $2v>u$, $12w>u$ ve $12+u>6w+2v$ eşitsizlikleri çıkar.
Eğer $w\geq 2$ ise $$12+u>6w+2v\geq 12+2v\implies u>2v$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla $w=1$ ve $12w=12>u$'den $11\geq u$ bulunur. Dolayısıyla $a\leq \frac{11}{24}$ olacaktır. Eşitlik durumu için $u=11$ ve $w=1$'den $v$ için elde edilen sınırlar $$2v>u=11\implies v\geq 6$$ $$12+u>6w+2v\implies 17> 2v\implies 8\geq v$$ bulunur. Yani $v=6,7,8$ olabilir. Bu durumda $a$'nın maksimum değeri $\frac{11}{24}$'dür ve bu değer için sadece $3$ tane polinom vardır. Bunlar, $$P(x)=\frac{11x^4+2x^3+x^2+10x+24}{24}$$ $$P(x)=\frac{11x^4+6x^3+x^2+6x+24}{24}$$ $$P(x)=\frac{11x^4+10x^3+x^2+2x+24}{24}$$ polinomlarıdır.
