Soru yanlıştır.
Önce hatalı çözüm yapalım.
$AD=X$, $BE=y$ olsun. Tanım gereği $x,y \in \mathbb{Z}$.
Orta dikmeler ikizkenar üçgen oluşturacağından $BD=DC=2x$ ve $AE=EC=3y$ olacaktır.
$ABD$ ve $ABE$ üçgenlerinde üçgen eşitsizliğinden $3x > 12 \Rightarrow x > 4$ ve $4y > 12 \Rightarrow y> 4$ elde edilir. $x=5$ ve $y=4$ bu eşitsizlikleri sağlayan en küçük tam sayılardır. Bu durumda $\text{Çevre}(ABC) = 12 + 15 + 16 = 43$ olacaktır.
Bu değer hatalıdır; çünkü sorudaki eşitlikleri sağlayan bir üçgen vardır ve bu üçgenin kenarları tam sayı değildir.
Sorudan $x$ ve $y$ nin tam sayı olma kısımlarını atarsak aşağıdaki gibi bir çözüm yapabiliriz:
$BC$ nin orta noktası $X$, $AC$ nin orta noktası $Y$ olsun.
$AD=x$ ve $BE=y$ diyelim. $DY=x/2$, $YC=3x/2$, $EX=y$, $XC=2y$ olacaktır.
$DX$ orta dikme olduğu için $BDC$ üçgeni ikizkenar ve $BD=DC=2x$ olacaktır.
$\dfrac {EC}{BE} = \dfrac {3y}{y} = 3$ ve $\dfrac {CX}{YD}= \dfrac {3x/2}{x/2}=3$ olduğu için $EY \parallel BD$ ve $\angle ADB = 90^\circ$ olacaktır. Bu durumda $\angle ACB = 45^\circ$ ve $XC:DC=1:\sqrt 2$ olacaktır.
$\triangle ADB$ de Pisagor uyguladığımızda $x = \dfrac{6}{\sqrt 5}$; $\triangle DCX$ de Pisagor uyguladığımızda $y = \dfrac {3\sqrt 2}{\sqrt 5}$ olacaktır.
Bu durumda $\triangle ABC$ nin kenarları $AC = \dfrac {36}{\sqrt 5}$, $BC = \dfrac{24\sqrt 2}{\sqrt 5}$ ve $AB=12$ olacaktır. $ 43 < \text{Çevre}(ABC) < 44$ olacaktır.
