Üç Basamaklı Sayıların Öz Sayılar Toplamı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru, $2000$ Tübitak Ortaokul Matematik Olimpiyatı 1. Aşama Sınavı'ndan modifiyedir.


Soru: Bir pozitif tam sayının $9$ katının rakamları toplamına o sayının öz sayısı diyelim. Tüm üç basamaklı sayıların öz sayılarının toplamı kaçtır?



Not: Sonucu $16200$ olarak hesapladım. Çözüm göndermek isteyenler için katkılarını bekleriz. Kendi çözümümü de daha sonra ekleyeceğim.

[Lokman Gökçe]

$abc$ üç basamaklı sayısının öz sayısı, $9\cdot abc$ sayısının rakamlarının toplamıdır.

$9\cdot abc$ sayısı $9$'un katı olduğundan elde edilebilecek bütün öz sayılar yine $9$ un katıdır. Çünkü, bir pozitif tam sayının rakamları toplamı $\mod 9$ da invaryant kalır. $abc=999$ en büyük değeri için $9\cdot 999 =8991$ olup öz sayı $8+9+9+1=27$ dir. Dolayısıyla elde edilebilecek öz sayılar $\{ 9, 18, 27\}$ kümesinin bir elemanı olmalıdır.

Şimdi öz sayısı $27$ olan sayıları araştıralım. Bunun için $9\cdot abc$ sayısının rakamlarının toplamı $27$ olmalıdır.
$9\cdot abc \in \{ 999, 1899, 1989, 1998, 2799, \dots , 8991 \}$ dir. Bu kümedeki sayıların sayısını hesaplamak istiyoruz.

Üç basamaklı $999$ sayısı $1=\dbinom{2}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $1xyz$ sayıları için $x+y+z=26$ olup $0\leq x, y, z \leq 9$ şartı ile beraber düşünülürse $x' + y' + z' = 1$ denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısına denktir. Bu da $\dbinom{3}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $2xyz$ sayıları için $x+y+z=25$ olup $0\leq x, y, z \leq 9$ şartı ile beraber düşünülürse $x' + y' + z' = 2$ denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısına denktir. Bu da $\dbinom{4}{2}$ tanedir.

$\vdots $

Dört basamaklı $8xyz$ sayıları için $x+y+z=19$ olup $0\leq x, y, z \leq 9$ şartı ile beraber düşünülürse $x' + y' + z' = 8$ denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısına denktir. Bu da $\dbinom{10}{2}$ tanedir.

Bu durumda toplam $\dbinom{2}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{4}{2}+\cdots +\dbinom{10}{2} = \dbinom{11}{3} = 165$ tane sayı vardır. Bu toplamı $$\sum_{n=2}^{10} n(n-1)/2 =165 $$ biçiminde de bulabiliriz.

Şimdi de öz sayısı $9$ olan üç basamaklı sayıların sayısını belirleyelim. $9\cdot abc$ sayısının rakamları toplamı $9$ olmalıdır. En küçük değer olarak $abc=100$ için $9\cdot abc = 900$ olur.
$9\cdot abc \in \{ 900, 1008, 1017, 1026, \dots , 8001 \}$ dir. Bu kümedeki sayıların sayısını hesaplamak istiyoruz.
Üç basamaklı $900$ sayısı $1=\dbinom{2}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $1xyz$ sayıları için $x+y+z=8$ olup $\dbinom{10}{2}$ tanedir.
Dört basamaklı $2xyz$ sayıları için $x+y+z=7$ olup $\dbinom{9}{2}$ tanedir.

$\vdots $

Dört basamaklı $8xyz$ sayıları için $x+y+z=1$ olup $\dbinom{3}{2}$ tanedir.

Bu durumda yine toplam $\dbinom{2}{2}+\dbinom{3}{2}+\dbinom{4}{2}+\cdots +\dbinom{10}{2} = \dbinom{11}{3} = 165$ tane sayı vardır.

Geriye öz sayısı $18$ olan üç basamaklı sayıların sayısını hesaplamak kaldı. Tüm üç basamaklı pozitif tam sayılar $900$ tane olduğundan öz sayısı $18$ olan $900 - 165 - 165 = 570$ tane sayı vardır.


Sonuç olarak, üç basamaklı pozitif tam sayıların öz sayılarının toplamı $165 \cdot 27 + 165 \cdot 9 +570 \cdot 18 = \boxed{16200} $ buunur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: Öz sayısı $9$ olan sayıların sayısı ile öz sayısı $27$ olan sayıların sayısının eşit ve $165$ olduğunu yukarıdaki çözümümüzde gördük. Bunların eşit sayıda olduğunu, $165$ değerini hesaplamadan bulmayı deneyelim.

Örneğin, şu dört basamaklı sayıları inceleyelim.
$9\cdot 112 = 1008$ sayısı ile $9 \cdot 999 = 8991$ sayısına bakalım. Toplamları $1008 + 8991 = 9999$ olmaktadır.
$9\cdot 113 = 1017$ sayısı ile $9 \cdot 998 = 8982$ sayısına bakalım. Toplamları $1017 + 8982 = 9999$ olmaktadır.

O halde $9\cdot abc = ABCD$ ve $9\cdot xyz = XYZT$ dört basamaklı sayılarını göz önüne alalım. Burada $A,B,C,D,X,Y,Z,T$ birer rakamdır. $ 8\geq A\geq 1$ olmak üzere $A+B+C+D = 9$ denkleminin çözüm sayısı ile $ 8\geq X\geq 1$ olmak üzere $X+Y+Z+T = 27$ denkleminin çözüm sayısı eşittir. Çünkü $X=9-X', Y=9-Y',Z=9-Z', T=9-T'$ denirse $ 8\geq X' \geq 1$ olup $X'+Y'+Z'+T' = 9$ denklemi elde edilir.

$[900-999]$ aralığındaki üç basamaklı sayıları incelersek rakamlarının toplamı $9$ olan sayı yalnızca $9 \cdot 100 = 900$ ve rakamlarının toplamı $27$ olan sayı ise yalnızca $9\cdot 111 = 999$ dur. O halde öz sayısı $9$ olan üç basamaklı sayıların sayısı ile öz sayısı $27$ olan üç basamaklı sayıların sayısı eşittir. Bunların her birinden $n$ tane olsun. Öz sayısı $18$ olan üç basamaklı sayıların sayısı ise $900-2n$ olur. Tüm üç basamaklı sayıların öz sayılarının toplamı

$$ 9n + 18\cdot (900 - 2n) + 27n = 18\cdot 900 = \boxed{16200} $$

elde edilir.