Dörtgende Açı Uzunluk

[NazifYILMAZ]

Yardımcı olan arkadaşlara teşekkür ederim.


EDİT: Resim boyutları çok büyük olduğu için yeniden boyutlandırıldı, fazlalıklar kırpıldı. (Scarface)

[Lokman Gökçe]

Bu problemi genel bir teorem olarak ifade edelim.

Teorem: $ABDC$ bir dış bükey dörtgen, $ABD$ eşkenar üçgen, $m(\widehat{CAD})=30^\circ$ olsun. $[AD]$ ve $[BC]$ köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla $E$, $F$ ise $|CD|=2|EF|$ dir.

İspat: $[BD]$ kenarının orta noktası $G$ olsun. Orta taban özelliğinden $FG \parallel CD$ ve $|CD|=2|FG|$ dir.

Ayrıca $ABC$ dik üçgeninde $|FA|=|FB|=|FC|$ dir. Böylece $AFBD$ iç bükey deltoid olup $m(\widehat{ADF})= m(\widehat{BDF})=30^\circ $ dir. $|DG|=|DE|$ olduğundan $DGF \cong DEF$ olup $|FG|=|FE|$ dir. Böylece $|CD|=2|EF|$ elde edilir.

[geo]

Lokman Hoca'nın çizimi üzerinden konuşursak:

$AC$ ile $BD$, $H$ de kesişsin.
$\angle CHB = \angle DAC = 30^\circ$.
$\angle CBH + \angle FBG = \angle ACB = \angle FAC = \angle FAE + \angle DAC$ olduğu için $\angle FBG = \angle FAE$.
Ayrıca $AF=BF$ ve $BG=AE$ olduğu için $\triangle FBG \cong \triangle FAE$. $FE = FG = CD/2$.

[geo]

Kenarları $a, b, c, d$; köşegenleri $e, f$ olan bir dörtgende köşegenlerin orta noktaları arasındaki uzaklık $x^2 = \dfrac
 {a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - e^2 - f^2}{4}$ olduğu bilgisini kullanalım. (Hatırlamayanlar için ipucu, üç kez kenarortay teoremini yazdığımızda bu sonucu elde ediyoruz.)

Bizim sorumuzda açılardan biri $90^\circ$ olduğu için köşegenlerden biri hipotenüs oluyor. Diğeri de kenarlardan ikisine eşit olduğu için kenarlardan birinin uzunluğunun karesi $4x^2$ ye eşit olacaktır.