$\sqrt{n}$ nin irrasyonelliği

[Lokman Gökçe]

$n$ tam kare olmayan bir pozitif tam sayı ise $\sqrt{n}$ irrasyonel sayıdır, ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

Elemanter sayılar teorisi yöntemleri ile çözüm vereceğiz. Önce bir lemma ispatlayalım:


Lemma: $n$ bir pozitif tam sayı ve $\sqrt{n}$ bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda $\sqrt{n}$ bir tam sayıdır. Diğer bir deyişle $n$ bir tam karedir.


İspat: $a,b$ pozitif tam sayılar ve $(a,b)=1$ olmak üzere $\sqrt{n}=\dfrac{a}{b}$ biçiminde yazılmış olsun. Kare alırsak $n=\dfrac{a^2}{b^2}$ olur. Fakat $(a^2, b^2)=1$ olduğundan $n=\dfrac{a^2}{b^2}$ kesri indirgenemez (daha fazla sadeleşemez) biçimdedir. Öte yandan $n$ bir tam sayı olduğundan $b=1$ olmalıdır. Böylece $n=a^2$ biçiminde tam kare bir tam sayıdır.



Şimdi ana probleme bakalım. $n$ tam kare olmayan bir pozitif tam sayı ise $m^2 < n <(m+1)^2$ olacak biçimde bir $m$ pozitif tam sayısı vardır. Karekök alırsak, $m<\sqrt{n}<m+1$ olur. Ardışık iki tam sayının arasında başka bir tam sayı olamayacağından $\sqrt{n}$ bir tam sayı değildir. $\sqrt{n}$ sayısı rasyonel sayı da olamaz. Çünkü $\sqrt{n}$ rasyonel sayı olsaydı ispatladığımız Lemma'ya göre $\sqrt{n}$ bir tam sayı oluyordu ve bir çelişki elde ederdik. Sonuç olarak $\sqrt{n}$ sayısı irrasyoneldir.

[Metin Can Aydemir]

Alternatif İspat: $n>1$ olarak kabul edebiliriz. $n$ tamkare olmasın. $n$'den küçük en büyük tamkare $m^2$ ise $m^2<n<(m+1)^2$ olacaktır. Buradan $$0<\sqrt{n}-m<1$$ elde edilir. Eğer $S=\{s+t\sqrt{n}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ olarak tanımlarsak $S$ kümesi toplama, çıkarma ve çarpmaya göre kapalı olacaktır. Dolayısıyla her $k$ pozitif tamsayısı için $(\sqrt{n}-m)^k\in S$ olacaktır. $(a,b)=1$ pozitif tamsayıları için $\sqrt{n}=\frac{a}{b}$ yazalım. Bu durumda $S\cap (0,1)$ kümesindeki sayılara bakalım. $$0<s+t\sqrt{n}<1\implies 0<bs+at<b$$ olur. Yani $bs+at$ değeri $b-1$ farklı değer alabilir ve $s+t\sqrt{n}=\frac{bs+at}{b}$ kesiri en fazla $b-1$ değer alabilir. Yani $S\cap (0,1)$ kümesinde en fazla $b-1$ sayı vardır. Ancak her $k$ pozitif tamsayısı için $0<(\sqrt{n}-m)^k<1$ olduğundan ve farklı $k$ değerleri için $(\sqrt{n}-m)^k$ değeri de farklı olacağından $S\cap (0,1)$ sonsuz elemana sahiptir. Bu da $b-1$ tane eleman olmasıyla çelişir. Dolayısıyla $\sqrt{n}$ rasyonel olamaz.