Gönderen Konu: Fuss Teoremi  (Okunma sayısı 5259 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Fuss Teoremi
« : Mayıs 18, 2020, 02:09:10 öö »
Teorem: $ABCD$ çift merkezli bir dörtgen (yani hem kirişler dörtgeni hem de teğetler dörtgeni) olsun. $ABCD$ nin çevrel çemberinin merkezi $O$, iç teğet çemberinin merkezi $I$, çevrel çemberinin yarıçapı $R$, iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ ve $|OI|=d$ ise $$ \dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{(R+d)^2} + \dfrac{1}{(R-d)^2} $$ eşitliği vardır.


Dipnot: Nicolas Fuss, 1755-1826 tarihlerinde yaşamış İsviçreli matematikçi. Leonhard Euler'in öğrencisi ve arkadaşıdır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Fuss Teoremi
« Yanıtla #1 : Mayıs 29, 2020, 05:22:03 ös »
İspat: İç teğet çember $[AB]$, $[BC]$ kenarlarına sırasıyla $K$, $L$ noktlarında değsin. $ABCD$ kirişler dörtgeni olduğundan $A$ ve $C$ deki iç açılar bütünlerdir. Böylece $m(\widehat{BAI}) + m(\widehat{ICB})=90^\circ$ dir. $|IK|=|IL|=r$ dir. $AIK$ ve $CIL$ üçgenleri; dik kenarları $|AI|$, $|CI|$ ve hipotenüsü $|AK|+|CL|$ olacak biçimde birleştirilebilir. Alan bağıntısından
$r\cdot (|AK|+|CL|) = |AI|\cdot |CI| \tag{1}$
ve Pisagor teoreminden
$(|AK|+|CL|)^2 = |AI|^2 + |CI|^2 \tag{2}$
olur.

$(1)$ ve $(2)$ den $r^2\cdot (|AI|^2+|CI|^2)=|AI|^2\cdot |CI|^2$ olup
$\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{|AI|^2} + \dfrac{1}{|CI|^2} \tag{3}$
elde edilir. $AI$ ve $CI$ doğruları çevrel çemberi sırasıyla $F$, $E$ noktalarında kessin.
$$\begin{array}{lll}
m(\widehat{DOF})+m(\widehat{DOE}) & = & 2( m(\widehat{DAF})+m(\widehat{DCE}) ) \\
& = & m(\widehat{BAD})+m(\widehat{BCE})=180^\circ
\end{array}
$$
olduğundan $[EF]$ çevrel çemberin çapıdır. $EIF$ üçgeninde $|IO|$ kenarortayının uzunluk bağıntısından
$|EI|^2 + |FI|^2 = 2|IO|^2+ \dfrac{|EF|^2}{2}=2(d^2+R^2) \tag{4}$
elde edilir. $I$ noktasının çevrel çembere göre kuvvetinden
$|AI|\cdot |FI| = |CI| \cdot |EI| = R^2 - d^2 \tag{5}$
olur. $(4)$ ve $(5)$ ten
$$
\begin{array}{lll}
\dfrac{1}{|AI|^2} + \dfrac{1}{|CI|^2} & = & \dfrac{|FI|^2}{(R^2 -d^2)^2} + \dfrac{|EI|^2}{(R^2 -d^2)^2} \\
&=& \dfrac{|EI|^2 + |FI|^2}{(R^2- d^2)^2} \\
&=& \dfrac{2(R^2 + d^2)}{(R^2 - d^2)^2} \\
\end{array} \tag{6}
$$
olur. $(3)$ ve $(6)$ dan
$$ \begin{array}{lll}
\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{2(R^2 + d^2)}{(R^2 - d^2)^2} & = & \dfrac{(R+d)^2 + (R-d)^2}{(R^2 - d^2)^2} \\
&=& \dfrac{1}{(R+d)^2} + \dfrac{1}{(R-d)^2}
\end{array} $$
sonucuna ulaşılır.



Dipnot: Bu zarif çözümü Juan Carlos Salazar 2006'da Mathematical Magazine'de sunmuştur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal