n değişkenli bir eşitsizlik {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Her $i=1,2,\dots, n$ için $a_k >0$ gerçel sayıları $$\sum_{k=1}^n a_k=1$$ eşitliğini sağladığına göre $$\dfrac{a_1}{2-a_1}+\dfrac{a_2}{2-a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{2-a_n}\geq\dfrac{n}{2n-1}$$ olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumunun ne zaman sağlanacağını belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

Aritmetik-harmonik ortalama eşitsizliği kullanarak bir çözüm şöyle yapılabilir:


Çözüm: Verilen eşitsizliğin sağ tarafını düzenlemek için toplamın her bir terimine $1$ ekleyelim. Elbette toplamda $n$ eklemiş olduğumuzdan, sağ tarafa da $n$ eklemeliyiz. Her $k=1,2,\dots, n$ için $$ \dfrac{a_k}{2-a_k}+1 = \dfrac{2}{2-a_k}$$ olduğundan ispatlamamız istenen eşitsizlik toplam sembolü ile

$$ 2\left(  \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2-a_k}\right) \geq \dfrac{2n^2}{2n-1}\tag{1} $$

biçimine dönüşür.(İsterseniz $2$ çarpanlarını her iki taraftan sadeleştiriniz).

Bu tür bir ifade bize aritmetik-harmonik ortalamaları çağrıştırmaktadır. O halde $2-a_k$ terimleri için bu ortalamalar arasındaki eşitsizliği uygulayalım:

$$ \dfrac{\sum_{k=1}^n(2-a_k)}{n} \geq \dfrac{n}{\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2-a_k}} \tag{2}$$

olur. $\sum_{k=1}^n(2-a_k)=2n-1$ olduğundan $(2)$ eşitsizliği bize $(1)$'i verir.

Ayrıca ortalama eşitsizliğinde eşitlik halinin geçerli olması için gerek ve yeter koşul $2-a_k$ terimlerinin eşit olmasıdır. Böylece $a_1=a_2=\cdots =a_n=\dfrac{1}{n}$ iken eşitlik sağlanır.

[Metin Can Aydemir]

Bu soru için biraz karışık bir çözüm olabilir ama şu anda adlarını hatırlayamadığım iki öğrencinin güzel bir TÜBİTAK projesinden yola çıkarak bu soruya farklı bir çözüm getirebiliriz.

$x\leq 1$ için $f(x)=\dfrac{x}{2-x}$ fonksiyonunu tanımlayalım. Şimdi de öyle bir $g(x)=ax+b$ fonksiyonu belirleyelim ki $f\left (\dfrac{1}{n}\right )=g\left (\dfrac{1}{n}\right )$ ve $f'\left (\dfrac{1}{n}\right )=g'\left (\dfrac{1}{n}\right )$ sağlasın. Eğer bunları açıp hesaplarsak, $$a=\dfrac{2n^2}{(2n-1)^2}$$ $$b=-\dfrac{1}{(2n-1)^2}$$ buluruz. Şimdi her $x\leq 1$ için $f(x)\geq g(x)$ olduğunu gösterelim. $$\dfrac{x}{2-x}\geq \dfrac{2n^2x-1}{(2n-1)^2}\Leftrightarrow (2n-1)^2x\geq (2n^2x-1)(2-x)\Leftrightarrow 2(nx-1)^2\geq 0$$ olur. Yani her $x\leq 1$ için $f(x)\geq g(x)$'dir ve eşitlik durumu $x= \dfrac{1}{n}$'dir. $x$ yerine $a_1,a_2,...,a_n$ yazıp taraf tarafa toplarsak, $$\dfrac{a_1}{2-a_1}+\dfrac{a_2}{2-a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{2-a_n}\geq\dfrac{n}{2n-1}$$ bulunur. Eşitlik durumu $a_1=a_2=\cdots=a_n=\dfrac{1}{n}$'dir.

Not: Fonksiyonu tanımlarken $x\leq 1$ dememizin sebebi $a_k$'ların $1$'den küçük olması ve $2-x$ ifadesini karşıya atınca eşitsizliğin yön değiştirmemesi. Dolayısıyla tanımlarken $x\leq 2$ dememizde de bir sıkıntı yok.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bergström Eşitsizliği'ni kullanacak olursak

$$LHS=\sum_{cyc- j}{\dfrac{a_j^2}{2a_j-a_j^2}}\geq \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)^2}{2\sum\limits_{cyc}{a_1}-\sum\limits_{cyc}{a_1^2}}=\dfrac{1}{2-\sum\limits_{cyc}{a_1^2}}$$

$\sum\limits_{cyc}{a_1^2}\geq \dfrac{\left(\sum\limits_{cyc}{a_1}\right)^2}{n}=\dfrac{1}{n}$ olduğunu kullanırsak
$$LHS\geq \dfrac{1}{2-\sum\limits_{cyc}{a_1^2}}\geq \dfrac{1}{2-\dfrac{1}{n}}=\dfrac{n}{2n-1}$$