Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1997 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ dır. $N$ ve $M$ sırasıyla $[AB]$, $[CA]$ kenarlarının orta noktalarıdır. $BI$, $CI$ doğruları $MN$ doğrusu ile sırasıyla $K$, $L$ noktalarında kesişiyor. $$ |AI|+|BI|+|CI| > |BC|+|KL| $$ olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

$|BC|=a$, $|AC|=b$, $|AB|=c$ diyelim. Öncelikle temel bir eşitsizliği ispatlayarak başlayalım:

Üçgen eşitsizliğinden $|AI|+|BI|> c $, $|AI|+|CI|>b $, $|BI|+|CI|>a$ olup bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak $$ |AI|+|BI| + |CI| > \dfrac{a+b+c}{2} \tag{1}$$ elde edilir.

Şimdi iç ters açılardan, $m(\widehat{CBK})=m(\widehat{BKN})$, $m(\widehat{BCL})=m(\widehat{CLM})$ olup $|NB|=|NK|=\dfrac{c}{2}$ ve $|MC|=|ML|=\dfrac{b}{2}$ olur. Ayrıca $ABC$ üçgeninde orta tabandan $|MN|=\dfrac{a}{2}$ dir.  Buna göre, $|KL|=|ML|+|NK|-|MN|$ olup $$ |KL|= \dfrac{b+c-a}{2} \tag{2} $$ elde edilir. $$ |KL| + |BC| = \dfrac{a+ b+c}{2} \tag{3}$$ olur. $(1)$ ve $(3)$ ifadelerinden $|AI|+|BI|+|CI| > |KL| + |BC|$ sonucuna ulaşılır $\blacksquare$