Matematik Dünyası dergisinin arşivine netten ulaşabiliyoruz. 1992 sayılarından birinde bu konudan bahsediliyor.
Kaynak 1 olarak bağlantıyı paylaştım.
$n=10$ çizimi yapılıp sonra birer köşe atlanarak köşeler birleştirilirse $n=5$ çizimi de yapılmış olunuyor.
$n=3,4,5,6,8,10$ için çizimler en az Pisagor'dan beridir biliniyor. Forumumuzda da Öklid'in Elementler Kitabı 1. cilt incelemesi yaparken Öklid'in ispatladığı ilk teorem olarak $n=3$ için eşkenar üçgen çiziminin nasıl yapıldığı açıklanmıştı. Sanıyorum diğer ciltlerde $n=4,5,6,8,10$ için çizimlerin nasıl yapılacağı gösterilmiştir. Bunların her birinin çizilebilirliğinin gösterilmesi, konuya yeni başlayan okuyucular açısından bu konuyu kavratıcı çok faydalı birer antrenman olacaktır.
Düzgün $10$-gen çiziminde benim favori yöntemim kenarları $\sqrt{5}-1, \sqrt{5}-1, 2$ olan ikizkenar üçgeni çizerek $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ $ açı ölçülerini elde etmektir. $36^\circ$ merkez açı ve $R=\sqrt{5}-1$ yarıçap olacak biçimde on tane bu ikizkenar üçgenden çizilirse düzgün $10$-gen elde etmiş oluruz.
Burada bir uzunluğun $\sqrt{5}-1$ katının ve $2$ katının nasıl çizildiği, $\sqrt{5}-1, \sqrt{5}-1, 2$ kenar uzunluklarına sahip üçgenin iç açı ölçülerinin hesabı gibi temel meselelere girmiyorum. Birçok çizim probleminin ispatını yine forumda
çizim problemleri başlığında sunmuştuk.
Gauss, $n\geq 0$ tamsayı iken $F_n=2^{{2}^n}+1 $ formundaki asal sayılar için (ki bunlar Fermat asal sayıları olarak bilinir) kenar sayısı $F_n$ asalı olan her düzgün çokgenin çizilebilirliğini kanıtlıyor. Daha genel olarak şu teorem de vardır:
Gauss-Wantzel Teoremi: $n,t$ negatif olmayan tamsayılar ve $i=1,2,\dots, t$ için $p_i$ ler farklı Fermat asalları olmak üzere bir düzgün çokgenin çizilebilir olması için gerek ve yeter şart kenar sayısının $2^n p_1p_2 \dots p_t$ biçiminde olmasıdır.
Şu anda bilinen Fermat asalları yalnızca beş tane olup $F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537$ dir. Dolayısıyla bunların kombinasyonlarından $2^5-1=31$ tane tek kenarlı düzgün çokgenin çizilebilir olduğu bilgisine ulaşıyoruz. Wikipedia'da bununla ilgili bilgiler mevcuttur. (Bkz.
Kaynak 2)
Öte taraftan $n=7,9,11,13,14,\dots $ kenarlı düzgün çokgenler pergel ve cetvelle çizilemezler.
Kaynak: 1. http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF_eskisayilar/92_4_7_10_DUZGUN.pdf2.https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
