Açılarından biri diğerinin tamsayı katı olan üçgenler için genel bir yorum

[AtakanCİCEK]

$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere ,  $m(\widehat{A})=\alpha$  ve $m(\widehat{B})=k\cdot \alpha $ olduğuna göre bu üçgenin kenarları arasındaki ilişki için metot geliştiriniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): $ABC$ üçgeninin ilgili kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ olmak üzere kosinüs teoreminden

$\cos(\alpha) = \dfrac{b^2+ c^2 - a^2}{2bc} \tag{1}$

$\cos(k\alpha) = \dfrac{a^2+ c^2 - b^2}{2ac} \tag{2} $

olur. Ayrıca $\cos(k\alpha)$ ifadesinin $\cos(\alpha)$ türünden eşiti

$\cos(k\alpha) = T_k(\cos(\alpha)) \tag{3}$

özdeşliği ile belirlidir. Burada $T_k(x)$, $1.$ tür Chebyshev Polinomudur. Örneğin:

$T_1(x)=x$
$T_2(x)=2x^2 - 1$
$T_3(x)=4x^3 - 3x$
$T_4(x)=8x^4- 8x^2 +1$
$T_5(x)=16x^5 -20x^3+5x$

şeklindedir. $(1)$, $(2)$ eşitlikleri $(3)$ özdeşliğinde yerleştirilirse kenarlar arasındaki istenen bağıntı elde edilmiş olur.