2x3n Türündeki Tahtanın Kaplanması {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $2\times 3n$ türündeki bir tahta $2n$ tane özdeş $L$-trimino blokla kaplanacaktır. Kaç farklı desen elde edilebilir? (Lokman Gökçe)

Bilgi: $2\times 2$ türündeki bloğun bir köşesinden $1\times 1$ birimkaresinin çıkarılmasıyla elde edilen $L$ biçimli $3$ birimkarelik parçaya $L$-trimino diyoruz.

[Lokman Gökçe]

$2\times 3n$ tahtayı $2\times 3$ türünde $n$ eşit parçaya ayıralım. $2\times 3$ türündeki her bir parçayı $2$ yolla kaplayabileceğimizi gözlemlemek kolaydır. Böylece çarpma prensibiyle $n$ tane dilim $2^n$ farklı yolla kaplanabilir.

Not: Örnek kaplamanın belirgin olması için $L$-trimino blokları renklendirdik. Aslında $L$ bolklarımız özdeş olduğu için aynı renklidir. Bunu unutmayalım. Eğer $L$-bloklarımız özdeş olmasaydı, yani hepsi farklı bir renkte olsaydı bu durumda önce özdeş şekiller gibi $2^n$ yolla kaplama yaparız. Sonra da bu blokların her birine $2n$ farklı renkten birini veririz. Böylece

$$ 2^n\cdot (2n)! $$
farklı renkli kaplama desenleri elde ederiz.