Açıortay Uzunluğu

[alpercay]

$ABC$  üçgeninin iç açıortay uzunluğu $n_A$  olmak üzere

$n_A=\dfrac{2bc}{b+c}cos(A/2)$  ve
$n_A^2=bc(1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2})$

eşitliklerini gösteriniz.

[alpercay]

Açırortayımıza $n_a$ ismini verelim $BD=ck$ ce $CD=bk$ diyorum ve buradan kosinüs teoremi uygulayalım.
$c^{2}+n_a^{2}-2cn_a.cos(A/2)=c^{2}k^{2}$

$b^{2}+n_a^{2}-2bn_a.cos(A/2)=b^{2}k^{2}$ olur. Ve de diğer bir bildiğimiz açıortay uzunluğu formülünden $n_a^{2}=bc-bck^{2}$ olarak yazalım.

Eğer bu formülü $bc$ çarpanına ayırır ve $1-k^{2}$'yi elde etmeye çalışırsak

$\dfrac{n_a^{2}}{bc}=1-k^{2}$ olduğu elde edilir.

Devam edelim;

$b^{2}+c^{2}+2n_a^{2}-2.(c+b)n_a.cos(A/2)=(b^{2}+c^{2})k^{2}$ olur ilk iki eşitliği toplarsak ve;

$2.(c+b)n_a.cos(A/2)=b^{2}+c^{2}-(b^{2}+c^{2})k^{2}+2n_a^{2}$ olur.

$2.(c+b)n_a.cos(A/2)=(b^{2}+c^{2})[1-k^{2}]+2n_a^{2}$ olur

$1-k^{2}=\dfrac{n_a^{2}}{bc}$ eşitliğini yerinde yazarsak

$(b^{2}+c^{2})\dfrac{n_a^{2}}{bc}+2n_a^{2}=(b^{2}+c^{2}+2bc)n_a^{2}=(b+c)^{2}n_a^{2}$ olur

ve buradan;

$\dfrac{(b+c)^{2}n_a^{2}}{bc}=2.(c+b)n_a.cos(A/2)$ çıkar gerekli sadeleştirmeler yapılırsa görülür ki 

$n_a=\dfrac{2bc.cos(A/2)}{(b+c)}$ bulunur. Ve $\dfrac{2bc}{(b+c)}$ Harmonik Ortalama olacağından

$n_a=H.O(b,c).cos(A/2)$ olur.
Son ispatı Stewart Teoremini kullanarak yapabiliriz. Teoremi ifade edelim: $n_A$  açıortayının $BC$ kenarını kestiği nokta $D$,   $|AC|=b,        |AB|=c$  ve $|BD|=m$ ,   $|CD|=n$   olmak üzere
$n_A^2=\dfrac{b^2m+c^2n}{m+n}-mn$     eşitliği mevcuttur.
Yukarıdaki eşitlikte  $m=ck$,  $n=bk$    ve  $k=\dfrac{a}{b+c}$   olduğunu kullanarak istenen elde edilir. Çözüm için Deniz Tuna Yalçın'a teşekkürler.

[Deniz Tuna Yalçın]

Ayrıca ikinci çözüm için şöyle bir alternatif de var;
$ABC$ üçgeninde $|AB|=c, \quad |AC|=b, \quad |BC|=a$ olsun, $A$'dan $BC$'ye indirilen kenarortay $n_a$ olsun ve $|BC|$ 'yi $F$ noktasında kessin, $|BF|=ck$ ve $|CF|=bk$ diyelim, buradan $bk+ck=a \rightarrow k=\dfrac{a}{b+c}$ bulunur;
Eğer açıortay uzunluğunu $n_a^2=bc-bck^2$ şeklinde yazar ve $k=\dfrac{a}{b+c}$ eşitliğini kullanırsak;

$n_a^2=bc\left(1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2}\right)$ bulunur