Yalnız bir a için (fof)(a)=a {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem (L. Gökçe): $A=\{ 1,2,3,4,5,6,7 \}$ ve $f: A \to A $ bir permütasyon fonksiyonudur. Yalnız bir $a \in A$ için $(f \circ f)(a)=a$ olacak biçimde kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

$\textbf{a)}\ 1600 \qquad\textbf{b)}\ 1624 \qquad\textbf{c)}\ 1648 \qquad\textbf{d)}\ 1672 \qquad\textbf{e)}\ 1696 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$f$ fonksiyonunu ayrık devirlerin çarpımı olarak ifade edelim. $f=(a)(bcdefg)$, $f=(a)(bcd)(efg)$ veya $f=(ab)(cdefg)$ biçiminde olabilir.

1. durum: $f=(a)(bcdefg)$ ise $a$'yı $\dbinom{7}{1}$ yolla seçebiliriz. $(bcdefg)$ devri ise dairesel permütasyonla $(6-1)!=5!$ yolla belirlidir. $7\cdot 5! = 840$.

2. durum: $f=(a)(bcd)(efg)$ ise $a$'yı $\dbinom{7}{1}$ yolla seçebiliriz. Kalan $(bcd)(efg)$ grubu ise $\dfrac{1}{2!}\dbinom{6}{3} \dbinom{3}{3}\cdot 2!\cdot 2!=40$ yolla belirlenir. Çarpma ile $7\cdot 40 = 240$ bulunur.

3. durum: $f=(ab)(cdefg)$ ise $(ab)$ yi $\dbinom{7}{2}$ yolla ve $(cdefg)$ yi $(5-1)!=4!$ yolla seçebiliriz. Çarparsak $\dbinom{7}{2}\cdot 4! = 504$ olur.

Toplam $840+280+504=1624$ elde edilir.