Gönderen Konu: Pascal Teoremi  (Okunma sayısı 21643 defa)

Çevrimdışı gahiax

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 443
  • Karma: +8/-0
Pascal Teoremi
« : Ekim 13, 2007, 11:31:47 öö »
Bir çember üzerinde $A,B,C,D,E$ ve $F$ noktaları alınarak oluşturulan altıgende $Y = AB \cap DE \ , \ X = BC \cap EF \ , \ Z = CD \cap FA$ ise, $Y-X-Z$ noktaları doğrusal olur.
« Son Düzenleme: Ekim 07, 2014, 12:24:18 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
geometri en sade tanımıyla düşünce okuma sanatıdır(gahia)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Pascal Teoremi
« Yanıtla #1 : Ekim 13, 2007, 01:36:12 ös »
problem, pascal teoreminin 'konveks olmayan kirişler altıgeni' versiyonudur. Literatürde mevcuttur. Osman hocam çözümü vermiş...Aşağıda şekilde de konveks kirişler altıgeni için pascal teoremi: L, H, K noktalarınn doğrusal olduğunu söyler...
« Son Düzenleme: Ekim 07, 2014, 12:24:43 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı sgmx

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 190
  • Karma: +2/-0
  • ?
Pascal Teoremi
« Yanıtla #2 : Ekim 14, 2007, 10:10:08 ös »
pascal teoreminin 'konveks olmayan kirişler altıgeni' versiyonuna Lokman Hocamın yardımıyla biraz farklı ispat yaptık.
« Son Düzenleme: Ekim 07, 2014, 12:25:00 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: Pascal Teoremi
« Yanıtla #3 : Ocak 13, 2024, 01:58:09 ös »
Pascal Teoreminde köşelerin sırasının önemli olmadığı daha önce vurgulanmış.
Pratik olarak uygulamak için nasıl bir yöntem uyguladığımdan bahsetmek istiyorum.

$AB \ (1)$, $BC \ (2)$, $CD \ (3)$, $DE \ (4)$, $EF \ (5)$, $FA \ (6)$ kirişlerini $1$ den $6$ ya kadar numaralandırıyorum. (Söz konusu kirişler, çember üzerindeki $6$ noktanın birinden başlayıp tekrar aynı noktaya döndüğümüz bir yolun $6$ kenarı)
$(1)$ ile $(4)$, $(2)$ ile $(5)$, $(3)$ ile $(6)$ doğrularının kesişimleri doğrusal oluyor.

Kirişler yerine teğetler de kullanabiliyoruz. Örneğin, $A, B, C, C, D, E$ şeklinde de Pascal Teoremi'ni uygulayabiliyoruz. Bu durumda kirişler; $AB \ (1)$, $BC \ (2)$, $CC \ (3)$, $CD \ (4)$, $DE \ (5)$, $EA \ (6)$ şeklinde isimlendiriliyor. $CC$ ile çemberin $C$ noktasındaki teğeti ifade ediliyor.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.633
  • Karma: +9/-0
Ynt: Pascal Teoremi
« Yanıtla #4 : Ocak 13, 2024, 05:34:32 ös »
Pascal Teoremi'ni Menelaus kullanarak ispatlayalım: (Kaynak: Geometry Revisited (Coxeter & Greitzer))

$(1)$ ile $(4)$ ün kesişimine $L$, $(2)$ ile $(5)$ ün kesişimine $M$, $(3)$ ile $(6)$ nın kesişimine $N$ diyelim.

$(1)$, $(3)$, $(5)$ doğrularının belirttiği üçgen için sırasıyla $(2)$ üzerindeki, $(4)$ üzerindeki ve $(6)$ üzerindeki noktalar için Menelaus uygulayalım.

Son cümlemizi biraz daha açalım:
$(3)$ ile $(5)$ in kesişimi $U$, $(1)$ ile $(5)$ in kesişimi $V$, $(1)$ ile $(3)$ ün kesişimi $W$ olsun.
$UVW$ üçgeninde $(2)$ üzerindeki $B$, $C$, $M$ noktaları için; $(4)$ üzerindeki $D$, $E$, $L$ noktaları için, $(6)$ üzerindeki $A$, $F$, $N$ noktaları için Menelaus uygulayacağız:
$$\dfrac{UM}{MV} \cdot \dfrac{VB}{BW} \cdot \dfrac{WC}{CU} = 1, \quad \dfrac{UE}{EV} \cdot \dfrac{VL}{LW} \cdot \dfrac{WD}{DU} = 1, \quad \dfrac{UF}{FV} \cdot \dfrac{VA}{AW} \cdot \dfrac{WN}{NU} = 1$$
Taraf tarafa çarpıp düzenlediğimizde $$ \left ( \dfrac{UE \cdot UF}{DU \cdot CU} \cdot \dfrac{WC \cdot WD}{BW \cdot AW} \cdot \dfrac{VB \cdot VA}{EV \cdot FV} \right ) \cdot \left ( \dfrac{UM}{MV} \cdot \dfrac{VL}{LW} \cdot \dfrac{WN}{NU} \right )  = 1$$ elde ederiz.
Çemberde kuvvetten ilk parantezin içindeki kesirler $1$ e eşit olur. Bu durumda ikinci parantezin içerisi de $1$ e eşit olur. Bu da $UVW$ üçgeni ve $M$, $L$, $N$ noktaları için Menelaus Teoremi'nin tersinin denklemidir. O halde, $L$, $M$, $N$ doğrusaldır. $\blacksquare$

Geogebra/Pascal etkinliğinde, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ noktalarının yerlerini değiştirerek Pascal Teoremi'nin değişik formlarını gözlemleyebilirsiniz.
Örneğin, $C$ ile $D$ yi üst üste getirerek altıgen yerine beşgen, kiriş yerine teğet elde ettiğimiz formu gözlemleyebilirsiniz.
« Son Düzenleme: Ocak 13, 2024, 05:54:26 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal