Zincir Kuralı

[ArtOfMathSolving]

$x,y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ noktaları $t_{0}$ noktasında diferansiyellenebilir olmak üzere, $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonu da $\left( x(t_{0}),y(t_{0}) \right)$ noktasında sürekli ve kısmi türevlenebilen bir fonksiyon olsun. $g(x)$ fonksiyonu da $g\left( x\right) =f\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) \right)$ olmak üzere, $(x(t_{0}),y(t_{0}))$ noktasında diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O halde aşağıdaki eşilik geçerlidir. Kanıtlayınız.$$\dfrac{d g}{dt}(t_0)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x(t_0),y(t_0))\cdot \frac{dx}{d t}(t_0)+ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x(t_0),y(t_0))\cdot \dfrac{dy}{d t}(t_0).$$

[ArtOfMathSolving]

Göstermemiz gereken,

$$\lim_{h\to 0}\dfrac{g(t_0+h)-g(t_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x(t_0+h),y(t_0+h))-f(x(t_0),y(t_0))}{h}.$$ olduğu.$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x(t_0+h),y(t_0+h))-f(x(t_0+h),y(t_0))}h
\;\;\;\mbox{ve}\;\;\;\lim_{h\to 0}\frac{f(x(t_0+h),y(t_0))-f(x(t_0),y(t_0))}h,$$ bu iki limitin olduğunu gösterirsek ispat biter. Çünkü $g'(t_{0})$ bu iki limitin toplamıdır. $(\sum_{a,b}$ ifadesi, yazılan denklemin $b$ ye göre simetriğini ifade eder.)

$\textit{L'Hospital}$ uylulayalım. $$g'(t_{0})=f'(x(t_{0}),y(t_{0}))=\sum_{x,y}\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f'(x(t_{0}+h),y(t_{0})).h-f'(x(t_{0}),y(t_{0})).h}{h^2}=\sum_{x,y}\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f'(x(t_{0}+h),y(t_{0}))-f'(x(t_{0}),y(t_{0}))}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f'(x(t_{0}+h),y(t_{0}))+f'(y(t_{0}+h),x(t_{0}))-f'(x(t_{0}),y(t_{0}))}{h}$$

Limitlerdeki $x(t_{0})$ ve $y(t_{0})$ noktalarını sabit olarak kabul edelim. Bu noktalar sırasıyla $c_{x}$ ve $c_{y}$ olsun.  $$f'((c_{x}),(c_{y}))=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f'(x(t_{0}+h),c_{y})+f'(y(t_{0}+h),c_{x})-f'((c_{x}),(c_{u})}{h}=^{L'Hospital} = f'(xt_0,yt_0) \spadesuit $$

İspat bitti.