Gauss toplamı ispatı

[melek1123]

Bu formüllerin ispatı var mı ???ACİLLL

[ArtOfMathSolving]

Evet Gauss bunu $5.$ sınıftayken yapmış. $n$ tane terimi defterine aşağıya doğru art arda yazmaya başlamış öyle ki bir tesadüf sonucu sayfada yan yana gelen terimlerin toplamı $n+1$ ediyormuş. $n$ tane terim olduğu için toplamda $n(n+1)/2$ olur diye öğretmenine söyleyivermiş. Açıkçası elde edilen bir formül ispatlanacak gibi durmuyor, öyleki buna formül diyoruz. Belki aynı metotla $\begin{align*}\sum n^2\end{align*}$ ve $\begin{align*}\sum n^3\end{align*}$ ü ispatlayabilirsiniz.

[Eray]

Aritmetik dizimizin ilk terimine $a_1$, son terimine $a_n$ diyelim. Dizide $n$ terim var. Ortak farka da $r$ dersek, $a_n=a_1+(n-1)r$ olacağından $n=\dfrac{a_n-a_1}{r}+1$ açıkça görülüyor. Bu da fotoğraftaki ilk formulün ta kendisi.
Terimlerin toplamını veren formul ArtOfMathSolving beyin dediğine benzer olarak terimleri önce düz sonra ters sırada yazıp alt alta toplayarak elde edilebilir.
$a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_n$
$a_n a_{n-1} \ldots a_2 a_1$
Böyle yazarsak alt alta gelen sayıların toplamı aynı olur. O halde tüm toplam (İlk Terim + Son Terim).(Terim Sayısı) olur. Bunun yarısı da tek bir satırın toplamını verir.

[Mathopia]

Konu başlığınızı sadece yazacaklarınızı özetleyecek biçimde yazınız. Sonuna ünlem koymak yazınızı özel yapmıyor. Ayrıca "acilll" şeklinde çözüm isteyeceğiniz yerde değilsiniz. Bu forum o forumlardan değil. Tekrarlanırsa altında onlarca cevapta olsa başlığınızı silerim. Forum kurallarını okuyun ve kurallara uyun lütfen.

[taftazani44]

"Gaus doğmadan ,sayma sayılarının dördüncü kuvvetlerinin toplamı formülleştirilmiş"
M.Bayraktar
İslam bilim tarihi