Doğuş Üniversitesi Matematik Olimpiyatı -2012

[ArtOfMathSolving]

Deneme Şeklinde uygulanması faydalı olur, kolay gelsin...

[LaçinCanAtış]

$f\left(x+g\left(y\right)\right)=3x+y+1\Longrightarrow f(g(x))=x+1$ ise $f$ ve $g$ fonksiyonları doğrusal olmalıdır.Sırasıyla $f(x)=ax+b,g(x)=Ax+B$ yazılırsa,$a=3$ ve $A=1/3$ olduğu görülür ve $b=1-3B$ ilişkisi yakalanır.Eldeki veriler sonucu cevap $\left[2682\right]$ bulunur.

[LaçinCanAtış]

$x_1=3^{2012}+1,x_2=\frac{1}{3}\cdot 3^{2012}+1=3^{2011}+1$ ve devamı getirilirse $x_n=3^{2013-n}+1$ olduğu görülür.Sonuç $4$ bulunur.

[LaçinCanAtış]

$\int _{\frac{1}{2}}^2\frac{lnx}{x^2+1}\:dx=\int _{\frac{1}{2}}^1\:\frac{lnx}{x^2+1}dx+k\:$ olduğunu biliyoruz.Bu integralde $u=1/x$ dönüşmü yapılırsa cevap 0 bulunur.(Hatalı olabilir,göz kararı.)