$\textbf{Ulusal Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı}$
$\textit{18.02.2016}$
$\textit{Problem 1}$
$x_1=1, x_2=2011$ olan bir $\{x_n\}$ dizisi $x_{n+2}=4022x_{n+1}-x_n$ şartını tüm $n$ pozitif tamsayıları için sağlıyorsa $\dfrac{x_{2012}+1}{2012}$ ifadesinin bir tamkare olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 2}$
Düzgün bir $45$-genin $15$ köşesi mavi, $15$ köşesi kırmızı, $15$ köşesi ise beyaz renge boyanmıştır. Tüm köşeleri mavi, tüm köşeleri kırmızı ve tüm köşeleri beyaz olan üç eş üçgenin bulunduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 3}$
$a_1,a_2,\ldots,a_n$ pozitif gerçel sayıları $a_1.a_2.\ldots.a_n=1$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$\sqrt{1+a_1^2}+\sqrt{1+a_2^2}+\ldots+\sqrt{1+a_n^2} \le \sqrt{2}(a_1+a_2+\ldots+a_n)$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 4}$
$ABC$ üçgeninin düzleminde bir $P$ noktası ve $AP$ ye dik olan bir $\ell$ doğrusu alınıyor. $P$ den geçen ve $AC$ ye dik olan doğru, $AC$ ve $\ell$ yi sırasıyla $B_1$ ve $B_2$ de kesiyor. $P$ den geçen ve $AB$ ye dik olan doğru, $AB$ ve $\ell$ yi sırasıyla $C_1$ ve $C_2$ de kesiyor. $B_2$ den $AB$ ye çizilen dikmenin ayağı $B_3$, $C_2$ den $AC$ ye çizilen dikmenin ayağı $C_3$ olsun. $PB_3$ ile $AC$ doğrusu $B_4$ te, $PC_3$ ile $AB$ doğrusu $C_4$ te kesişsin. $B_3$, $B_4$, $C_3$, $C_4$ noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
$\textit{Sınav süresi 4 saattir. Başarılar dileriz.}$
