Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2016 Soru 4

[Eray]

Bir dışbükey beşgende bir köşeden karşı kenara indirilen dikmeye o köşeye ait yükseklik diyelim. Beş yükseklikten dördü bir noktadan geçiyorsa beşincisinin de bu noktadan geçtiğini gösteriniz.

(Melih Üçer)

[Arman]

$ABCDE$ beşgeninde $B,C,D,E$ köşelerinden indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla $H_B,H_C,H_D,H_E$ ve kesişim noktaları $X$ olsun. $X$'den $CD$'ye indirilen dikin ayağı $H_A$ olsun.$A,X$ ve $H_A$ noktalarının doğrusallığını gösterelim.

$H_CXE\sim H_EXC\Longrightarrow\dfrac{H_CX}{H_EX}=\dfrac{EX}{CX}$

$H_EXB\sim H_BXE\Longrightarrow\dfrac{H_EX}{H_BX}=\dfrac{BX}{EX}$

$H_BXD\sim H_DXB\Longrightarrow\dfrac{H_BX}{H_DX}=\dfrac{DX}{BX}$

Sağdaki eşitlikleri taraf tarafa çarparsak,

$\dfrac{H_CX}{H_DX}=\dfrac{DX}{CX}\Longrightarrow H_CXH_D\sim DXC$

$\Longrightarrow m(\widehat{XCD})=m(\widehat{XH_DH_C})$

$AH_DXH_C$ kirişler dörtgeni olduğundan $m(\widehat{XH_DH_C})=m(\widehat{XAH_C})$

$\Longrightarrow m(\widehat{AXH_C})=m(\widehat{CXH_A})$

Demek ki son yükseklik de $X$ noktasından geçiyormuş.