Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 5

[MATSEVER 27]

$x(x+1)^3=(2x+a)(x+a+1)$ eşitliğini sağlayan tam olarak $4$ farklı $x$ gerçel sayısının bulunmasını sağlayan tüm $a$ gerçel sabitlerini belirleyiniz.

(Şahin Emrah)

[MATSEVER 27]

İfadeyi açarsak çözmemiz gereken denklem;
$$x^4+3x^3+x^2-(3a+2)x-a^2-a=(a-x^2)(a+x^2+3x+1)=0 $$
olarak görülür. Eşitliğimizin tam olarak $4$ farklı gerçel kökü var. O halde $a=x^2$ ve $-a=x^2+3x+1$ denklemlerinin tüm kökleri gerçel olmalı. Yani $a=x^2$ ve $a=-x^2-3x-1$ eşitliği sağlanmalı. $$x^2=-x^2-3x-1=0 \Rightarrow 2x^2+3x+1=0 \Rightarrow (2x+1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1 , x=\frac{-1}{2}$$
ve buradan $a=1,\frac{1}{4}$ elde edilir. Tüm çözümler bunlardır.