EŞİTSİZLİK $23$

[MATSEVER 27]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a+b+c=3$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$ \dfrac{1}{a^2}+ \dfrac{1}{b^2}+ \dfrac{1}{c^2} \ge a^2+b^2+c^2$$
olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Problem Romanya TST 2006 'dan. Vasile Cirtoaje tarafından oluşturulmuş. İspatını verelim. Öncelikle Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'nden
$$LHS=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\geq \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{3}{abc}$$
olduğunu biliyoruz. Buna göre eşitsizlik şuna dönüşür:
$$LHS=\dfrac{3}{abc}\geq a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2\sum_{sym}{ab}=9-2\sum_{sym}{ab}$$
$$\Longleftrightarrow \dfrac{3}{abc}+2\sum_{sym}{ab}\geq 9$$
ifadesine dönüşür. Şimdi ise $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc$  olduğundan son ifadeyi
$$\dfrac{3}{abc}+2\sum_{sym}{ab}=\dfrac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\dfrac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\overbrace{\geq}^{AGO} 9$$
şeklinde elde eder ve çözümü tamamlarız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cirtoaje 2006 yılında bu eşitsizliği Romanya Takım Seçme Sınavına önerdikten sonra bu eşitsizlik $n$  terime genelleştirilmeye çalışılmış. Bunu ben de denemiştim ve ilginç bir durum oluşuyor. Burada da bahsedildiği üzere sadece $n=10$  a kadar eşitsizlik çalışıyor.

$n=4$  hali ise 2012 yılında Mathematical Olympiad Program (MOP) de sorulmuş. O probleme yer verelim:
$-----------------------------------------$
MOP 2012: Herhangi $a$, $b$, $c$  ve $d$  pozitif reelleri için $a+b+c+d=4$  ise

$$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{d^2}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$$

olduğunu gösteriniz.