Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2015 Soru 3

[Eray]

$p$ bir asal, $n$ ise bir pozitif tam sayı olmak üzere,

$p^3 - 2p^2 + p + 1 = 3^n$

eşitliğini sağlayan tüm $(p,n)$ ikililerini bulunuz.

(Şahin Emrah)

[ArtOfMathSolving]

Denklemi $\pmod3$ te inceleyelim.

$p^3-2p^2+p+1 \equiv 0 \pmod3 \Rightarrow p^2(p-2)+p+1-3 \equiv 0 \pmod3$ Yani $p\equiv 2\pmod3$ veya $p^2+1\equiv 0 \pmod3$ olmalı , fakat $p^2\equiv 2 \pmod 3 $ olamaz çünkü,$\pmod3$ te kare kalanlar yanlızca $0$ ve $1$ dir. O zaman $p=3k+2$ formunda bir sayı.($k \in \mathbb{Z^{+}}$)

Buradan kolayca görülebileceği üzere $p=2$ için $n=1$ ve ,$p=5$ için, $n=4$ çözümleri bulunabilir. $p > 5$ kabul edelim. Şimdi de denklemi farklı bir şekilde düzenleyelim,

$p^3-3p^2+3p-1+2+p^2-2p=3^n \Rightarrow (p-1)^3=3^n+2p-p^2-2 = 3^n+(3k+2)(2-2-3k)-2 \Rightarrow (p-1)^3 = 3^n-9k^2-6k-2 $  ,$p > 5$ kabul ettiğimizden dolayı, denklemin sol tarafı çifttir,bu yüzden $k$ çift bir sayı olmalı fakat kabulumüz gereği bu mümkün değildir , Çelişki! O zaman denklemin $2$ çözümü vardır ve bunlar, $(p,n)=(2,1),(5,4)$ tür.

[MATSEVER 27]

$k$ çift olmak zorunda değildir, çift olan $3^n-9k^2$ dir. Yani $k$ tek olmalıdır, bu bir çelişki oluşturmaz.