mertebe

[Lokman Gökçe]

Soru (L. Gökçe):

$G$ bir grup ve $x, y \in G$ olsun. $x$ in mertebesi $5$, $y$ nin mertebesi $3$ ve $x^4y^2 =(yx)^6$ ise, $xy$ nin mertebesi kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed{D}$

$x^4y^2.y=(yx)^6 \cdot y$
$x^4y^3=(yx)^6 y$
$ x \cdot x^4= x \cdot (yx)^6 y$        (Birleşme özelliğinden $x \cdot (yx)^6 \cdot y = (xy)^7$ dir).
$x^5=(xy)^7$
$1=(xy)^7$

olup istenen mertebe (derece) $7$ nin bir pozitif bölenidir. Eğer $xy$ nin mertebesi $1$ olsa $xy=1$ den $y=x^{-1}$ olur. Yani $y$, $x$ in ters elemanı olur. Ancak bir $x$ elemanı ile tersinin mertebesi eşittir. Bu ise $x$ in mertebesinin $5$, $y$ nin mertebesinin $3$ şeklinde farklı değerler olması ile çelişir. O halde $xy$ nin mertebesi $1$ olamaz, $7$ dir.