Çözüm [Lokman GÖKÇE]: Önce iki yardımcı teorem verelim.
Lemma 1. $\sin(3\theta) = 4\cdot \sin \theta \cdot \sin(60^\circ - \theta) \cdot \sin(60^\circ + \theta)$ dır.
Lemma 2 [Trigonometrik Bir Hile]. $x,y,a,b>0^\circ $ ve $x+y=a+b < 180^\circ $ olsun.
$$ \dfrac{\sin x}{\sin y} = \dfrac{\sin a}{\sin b} $$
eşitliği sağlanıyorsa $x=a$ ve $y=b$ dir.
Bunların ispatlarının yapmak zor değildir. Lemma 1'den dolayı $\sin 36^\circ = 4 \cdot \sin 12^\circ \cdot \sin 48^\circ \cdot \sin 72^\circ$ eşitliği vardır. Çözümün bir aşamasında bunu kullanacağımız için not edelim. Şimdi çözümün ana aşamalarına geçebiliriz.
$ABC$ üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktasını (iç teğet çemberinin merkezini) $F$ ile gösterelim. $\angle BFC = 138^\circ $ dir. $\angle BFC = 90^\circ + \dfrac{\angle BAC}{2}$ bağıntısından kolayca $\angle BAC = 96^\circ$ bulunur. $[AF]$ iç açıortay olduğundan $\angle DAF = \angle EAF = 48^\circ $ dir. $\angle AED = x$ olsun.
Şimdi $ADE$ üçgeninin $DF, AF, EF$ cevian-ları için trigonometik Ceva teoremini yazalım: $\dfrac{\sin 48^\circ}{\sin 48^\circ}\cdot \dfrac{\sin (x + 18^\circ)}{\sin 18^\circ}\cdot \dfrac{\sin 24^\circ}{\sin(108^\circ - x)} = 1$ olur. Buradan
$ \begin{align*}
\dfrac{\sin (x + 18^\circ)}{\sin(108^\circ - x)} = & \dfrac{\sin 18^\circ \cdot \sin 48^\circ}{\sin 24^\circ \cdot \sin 48^\circ} \\
= & \dfrac{2\cdot \sin 18^\circ \cdot \sin 48^\circ \cdot \sin 72^\circ}{2\cdot \sin 24^\circ \cdot \sin 48^\circ \cdot \sin 72^\circ} \\
= & \dfrac{2\cdot \sin 18^\circ \cdot \sin 48^\circ \cdot \cos 18^\circ}{4\cdot \cos 12^\circ \cdot \sin 12^\circ \cdot \sin 48^\circ \cdot \sin 72^\circ}\\
= & \dfrac{\sin 36^\circ \cdot \sin 48^\circ}{ \cos 12^\circ \cdot \sin 36^\circ }\\
= & \dfrac{\sin 48^\circ}{ \sin 78^\circ}
\end{align*}
$
olur. $(x + 18^\circ) + (108^\circ - x) = 126^\circ = 48^\circ + 78^\circ $ eşitliği sağlandığından
Trigonometrik Hile'den (Lemma 2) dolayı $x + 18^\circ = 48^\circ$ olup $x=30^\circ$ dir. Açı takibi ile kolayca $\angle ABC = 12^\circ $ ve $\angle ACB = 72^\circ $ elde edilir.
