Lemoine Doğrusu'nun bir diğer özelliği ise, üçgenin Simedyan Noktası'nın kutup doğrusu olmasıdır. Bu nedenle üçgenin Simedyan Noktası'na bazen Lemoine Noktası da denmektedir.
Öncelikle birkaç tanım, lemma ve teorem hatırlatalım.
Simedyan: $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden geçen kenarortayın $A$ köşesinden geçen içaçıortaya göre simetriğine "$A$ köşesinden geçen simedyan" denir. Dolayısıyla bir köşeye ait simedyan ve kenarortay izogonal doğrulardır.
$A, B, C$ köşelerinden geçen simedyanlar noktadaş olup kesiştikleri noktaya "$ABC$ üçgeninin simedyan noktası" adı verilir. Üçgenin simedyan noktası ile ağırlık merkezi izogonal eşleniktir.
Kutup Doğrusu: Bir çemberin dışındaki bir noktanın bu çembere göre kutup doğrusu, bu noktadan çembere çizilen teğetlerin değme noktalarını birleştiren doğrudur. Kutup doğrusunun genel tanımı ise bu linkteki mesajda verilmiştir:
https://geomania.org/forum/index.php?topic=3290.msg12141#msg12141$A$ noktasının $O$ merkezli bir çembere göre kutup doğrusu $AO$ doğrusuna diktir.
Lemma: $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $B$ ve $C$ den çizilen teğetler $D$ noktasında kesişiyorsa $AD$ simedyandır.
İspat: $M$, $BC$ nin orta noktası olsun.
$D$ merkezli $DB=DC$ yarıçaplı çemberi çizelim. $AB$ ve $AC$ bu çemberi ikinci kez sırasıyla $P$ ve $Q$'da kessin.
$\angle ABQ=\angle ABC+\angle CBQ = \angle ABC + \angle ACB - \angle CQB = \angle ABC +\angle ACB - \dfrac{\angle CDB}{2} = \angle ABC +\angle ACB - \dfrac{180^\circ - 2\angle BAC}{2} = \angle ABC +\angle ACB + \angle BAC - 90^\circ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
$\Longrightarrow \angle PBQ=90^\circ \Longrightarrow D$, $PQ$ nun orta noktası
$\triangle ABC \sim \triangle AQB$ ve $AM$ ile $AD$ sırasıyla bu üçgenlerin kenarortayları olduklarından $\angle BAD=\angle QAD=\angle CAD$ dir. Yani $AM$ ve $AD$ izogonal ve $AD$ simedyandır. $\square$
Teorem (La Hire Teoremi): $A$ noktasının bir çembere göre kutup doğrusu $B$ noktasından geçiyorsa, $B$ noktasının bu çembere göre kutup doğrusu da $A$ noktasından geçer.
İspat: Çemberin merkezi $O$ olsun. $A$ noktasından çembere çizilen teğetlerin değme noktaları $C$ ve $D$ olsun. $AO\cap CD=\{E\}$ olsun. $A$ dan $OB$ ye çizilen dikin ayağı $G$ olsun. $B$ noktasından çembere çizilen bir teğetin değme noktası $F$ olsun.
$\angle AEB=\angle AGB=90^\circ$ olduğundan $AEGB$ çemberseldir. Dolayısıyla $O$ noktasının bu çembere göre kuvvetinden $OE\cdot OA=OG\cdot OB$ bulunur. Ayrıca $O$ merkezli çemberin yarıçapına $r$ dersek $r^2=OE\cdot OA$ olduğunu bildiğimizden $r^2=OG\cdot OB$ bulunur. Bu da $OF^2=OG\cdot OB$ olduğunu, yani $G$ nin $F$ den $OB$ ye inilen dikin ayağı olduğunu gösterir. Dolayısıyla $AF\perp OB$ yani $A$ noktası da $B$ noktasının kutup doğrusu üzerindedir. $\square$
Bu Lemma ve La Hire Teoremi yardımıyla üçgenin simedyan noktasının kutup doğrusunun Lemoine Doğrusu olduğunu ispatlayalım.
$ABC$ üçgeninde çevrel çembere $B$ ve $C$ den çizilen teğetler $D$ de, $A$ ve $C$ den çizilen teğetler $E$ de, $A$ ve $B$ den çizilen teğetler $F$ de kesişsin.
Lemma gereği $AD$, $BE$ ve $CF$ simedyan olup, kesiştikleri nokta $ABC$ üçgeninin simedyan noktasıdır. Bu noktayı $L$ ile gösterelim.
Üçgenin çevrel çemberine $A$ dan çizilen teğet ile $BC$ $P$ noktasında, $B$ den çizilen teğet ile $AC$ $Q$ noktasında, $C$ den çizilen teğet ile $AB$ $R$ noktasında kesişsin. $PQR$ doğrusunun
Lemoine Doğrusu olduğunu biliyoruz.
$D$ noktasının kutup doğrusu $BC$ ve $P$ de bu doğrunun üstünde olduğundan
La Hire Teoremi gereği $P$ noktasının kutup doğrusu $D$ den geçer.
$PA$ çembere teğet olduğundan $P$ noktasının kutup doğrusu $A$ dan geçer. Dolayısıyla $AD$, $P$ noktasının kutup doğrusudur.
$L$ noktası $P$ noktasının kutup doğrusu olan $AD$ üzerinde bulunduğundan,
La Hire Teoremi gereği $P$ noktası da $L$ noktasının kutup doğrusu üzerinde bulunmalıdır.
Benzer şekilde $Q$ ve $R$ nin de $L$ noktasının kutup doğrusu üzerinde bulunduğu ispatlanabilir. Bunlar, $L$ noktasının kutup doğrusunun $PQR$ yani
Lemoine Doğrusu olduğunu gösterir. $\blacksquare$
