Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 3

[geo]

$a, b, c$ pozitif reel sayıları $abc = 1$ koşulunu sağlıyorsa $$\left ( a+ \dfrac 1b \right )^2 + \left ( b+ \dfrac 1c \right )^2 + \left ( c+ \dfrac 1a \right )^2 \ge 3(a+b+c+1)$$ eşitsizliğini ispatlayınız.
Eşitlik durumunu bulunuz.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Cauchy-Schwarz uygulayalım.

$ (1+1+1)[\left ( a+ \dfrac 1b \right )^2 + \left ( b+ \dfrac 1c \right )^2 + \left ( c+ \dfrac 1a \right )^2] \ge \left (a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2 $ $ \Longrightarrow \left ( a+ \dfrac 1b \right )^2 + \left ( b+ \dfrac 1c \right )^2 + \left ( c+ \dfrac 1a \right )^2 \ge \dfrac{\left (a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}{3}$

O zaman $\left (a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2 \ge 9(a+b+c+1)$     olduğunu ispatlarsak soru biter.

A.G.O dan $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^3b^3c^3}}=3$      (Çünkü $abc=1$)

$(a+b+c+3)^2 \ge 9(a+b+c+1)$   olduğunu ispatlarsak soru biter.    $a+b+c=x$  olsun.

$(x+3)^2 \ge 9(x+1) \ \Longrightarrow x^2-3x=x(x-3) \ge 0$   olduğunu ispatlamalıyız. Bu da zaten A.G.O dan barizdir.

$a+b+c=x \ge 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3$ , ispat biter. Eşitlik durumu A.G.O da eşitlik durumu yani $a=b=c=1$  olduğunda görülür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş JBMO 2014 #3