Tübitak Genç Takım Seçme 2013 Soru 5

[mehmetutku]

$a,b,c,d$; $1$ den büyük gerçel sayılar ve $x,y$ de gerçel sayılardır. $a^x+b^y=(a^2+b^2)^x$ ve $c^x+d^y=2^y(cd)^{\frac{y}{2}}$ eşitlikleri sağlanıyorsa $x<y$ olduğunu ispatlayınız.

(Şahin Emrah)

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$x\ge y$ olsun. O zaman;

$2^y\sqrt{c^{y}d^{y}}=c^x+d^y \ge c^y+d^y \ge 2\sqrt{c^{y}d^{y}}$  (Son kısım A.G.O dan) $\Longrightarrow 2^y \ge 2     \Rightarrow    y\ge 1          \Rightarrow          x\ge y \ge1$

$a^x+b^x \ge a^x+b^y =(a^2+b^2)^x          \Longrightarrow   T=(\dfrac{a}{a^2+b^2})^x+(\dfrac{b}{a^2+b^2})^x \ge 1$

Burada $a\lt a^2+b^2$  olduğu barizidir yani  $\dfrac{a}{a^2+b^2} \lt 1$ dir. Aynı şekilde $\dfrac{b}{a^2+b^2} \lt 1$ dir. $x \ge 1$ olduğu için $T ,$  $x$ büyüdükçe küçülecektir. O zaman $T$  en büyük değerini $x=1$  iken alır. $x=1$ olsun.

$\Longrightarrow \dfrac{a}{a^2+b^2}+\dfrac{b}{a^2+b^2} \ge 1$     $a,b \gt 1$  olduğu için ifadedeki ilk kısmı $a$ ile ikinci kısmı $b$ ile çarpalım. $\ge$ işareti $\gt$ işaretine dönüşecek.

$1=\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2} \gt \dfrac{a}{a^2+b^2}+\dfrac{b}{a^2+b^2} \ge 1$            ÇELİŞKİ.             Demek ki $x\lt y$  dir.   İspat biter.