Tübitak Genç Takım Seçme 2013 Soru 4

[mehmetutku]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar ve $a+b+c=1$ ise aşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız.$$\dfrac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}+\dfrac{b^4+5c^4}{b(b+2c)}+\dfrac{c^4+5a^4}{c(c+2a)} \ge 1-ab-bc-ca$$

(Semih Yavuz)

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

$a^4$ ve $5b^4$ ü ayıralım. Ve Cauchy-Schwarz uygulayalım:

$[a(a+2b)+b(b+2c)+c(c+2a)][\dfrac{a^4}{a(a+2b)}+\dfrac{b^4}{b(b+2c)}+\dfrac{c^4}{c(c+2a)}] \ge (a^2+b^2+c^2)^2 $

$a(a+2b)+b(b+2c)+c(c+2a)=(a+b+c)^2=1$      olduğu için    $\dfrac{a^4}{a(a+2b)}+\dfrac{b^4}{b(b+2c)}+\dfrac{c^4}{c(c+2a)}  \ge (a^2+b^2+c^2)^2 \ \ \ \ (1)$     dir.

$[a(a+2b)+b(b+2c)+c(c+2a)][\dfrac{5b^4}{a(a+2b)}+\dfrac{5c^4}{b(b+2c)}+\dfrac{5a^4}{c(c+2a)}] \ge (a^2\sqrt5+b^2\sqrt5+c^2\sqrt5)^2=5(a^2+b^2+c^2)^2$   Yine benzer şekilde;       $\dfrac{5b^4}{a(a+2b)}+\dfrac{5c^4}{b(b+2c)}+\dfrac{5a^4}{c(c+2a)} \ge 5(a^2+b^2+c^2)^2 \ \ \ \ \ (2)$     dir.

$(1)$  ve  $(2)$  yi taraf tarafa toplayalım.

$\dfrac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}+\dfrac{b^4+5c^4}{b(b+2c)}+\dfrac{c^4+5a^4}{c(c+2a)} \ge 6(a^2+b^2+c^2)^2$   olur.  Eğer    $6(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 1-ab-bc-ca$   ise ispat biter.

$1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$  ifadesinde    $ab+bc+ca=x$  diyelim. O zaman $a^2+b^2+c^2=1-2x$  olur.  Yerine yazalım.

$\Longrightarrow 6(1-2x)^2 \ge 1-x$    olduğunu ispatlamalıyız.

$\Longrightarrow 24x^2-23x+5 \ge 0$   olduğunu ispatlamalıyız. İfadeyi çarpanlara ayıralım.

$\Longrightarrow (8x-5)(3x-1) \ge 0$    olduğunu ispatlamalıyız.

Şimdi $1=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$  ifadesinde  $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$  yazarsak  $\dfrac{1}{3} \ge ab+bc+ca=x$   olduğu görülür.

O zaman $8\cdot\dfrac{1}{3}-5= -\dfrac{7}{3} \ge 8x-5$    ve   $3\cdot\dfrac{1}{3}-1= 0 \ge 3x-1$   olur.   Yani $(8x-5)(3x-1) \ge 0$    ifadesinde her iki parantez de sıfırdan küçük ya da sıfıra eşittir. İfade doğrudur. İspat biter.

[ygzgndgn]

Bergström eşitizliğinden (Faydalı Cauchy)
$$\sum_{cyc} \frac{a^4+5b^4}{a(a+2b)}=\sum_{cyc} \frac{a^4}{a^2+2ab} + 5\sum_{cyc} \frac{b^4}{a^2+2ab}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{6(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}$$ gelir. $a+b+c=1$ olduğunu kullanırsak
$$LHS\geq 6(a^2+b^2+c^2)^2$$ buluruz. Şayet sağ tarafın $1-ab-bc-ca$ ifadesinden büyük olduğunu gösterirsek ispat biter. $1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ yazar ve $p=a^2+b^2+c^2, q=ab+bc+ca$ dersek
$$6p^2\geq p+q$$ olduğunu ispatlamamız gerektiğini görürüz. $p\geq q$ sağlanır. $1=p+2q\geq 3q \Rightarrow q\leq \frac{1}{3}$ olduğunu biliyoruz. Öyleyse $6p^2-p=p(6p-1)\geq \frac{1}{3}\geq q$ ise eşitsizlik sağlanır. Bu ise $$18p^2-3p-1=(6p+1)(3p-1)\geq 0 \Leftrightarrow p\geq \frac{1}{3}$$ olmasına özdeştir. $p+2q=1\leq 3p$ olduğundan bu doğrudur. İspat biter.