Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2000 Soru 1

[geo]

$\Gamma_1$ ve $\Gamma_2$ çemberleri $M$ ve $N$ de keşisiyor. $\ell$, $\Gamma_1$ ve $\Gamma_2$ nin $M$ ye yakın olan ortak teğeti olsun. $\ell$, $\Gamma_1$ e $A$ da, $\Gamma_2$ ye de $B$ de değmektedir. $M$ de geçen ve $\ell$ ye paralel olan doğru $\Gamma_1$ çemberini $C$ de, $\Gamma_2$ çemberini de $D$ de kesmektedir. $CA$ doğrusu ile $DB$ doğrusu $E$ de, $AN$ doğrusu ile $CD$ doğrusu $P$ de, $BN$ doğrusu ile $CD$ doğrusu $Q$ da kesiştiğine göre, $EP=EQ$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$EN$ ile $AB$, $R$ de kesişsin.
$RA^2 = RM \cdot RN = RB^2 \Rightarrow RA=RB$. Ayrıca $AB \parallel PQ$ olduğu için $MQ=MP$.
Teğet kiriş açıdan $\angle BAM = \angle ACM$ ve paralellikten $\angle EAB = \angle ACM = \angle MAB$.
Benzer şekilde, $\angle ABE = \angle ABM$.
$AMBE$ dörtgeninde, $AB$ köşegeni iki köşe için de açıortay olduğu için $AEBM$ bir deltoiddir. Dolayısıyla $AB \perp EM$. Paralellikten $EM \perp PQ$. $MQ=MP$ olduğunu daha önce göstermiştik. O halde, $EP = EQ$.