Matematik Dünyası Dergisinden

[alpercay]

A.203Kenar uzunlukları  a, b, c, d olan bir dörtgenin alanının        (a.c + b.d) / 2 den fazla olamayacağını gösteriniz.

[gahiax]

Çözüm(H.İ.AYANA):
   Konveks bir dörtgenin alanı en büyük değerini bu dörtgen kirişler dörtgeni olduğunda alır .
  kirişler dörtgeninde batlamyus teoreminden  (ac+bd)=e.f dir.
  ayrıca dörtgende  köşegenlere bağlı alan formülülünden alan   A(ABCD ) =e.f.1/2.sinx dir.
  dörtgeninimizin alanın en büyük değerini almasını istiyoruz bu durumda sinx=sin90⁰=1
  olmaddır. bu  durumda   max A(ABCD)=e.f.1/2 = (ac+bd)/2 olur yani alanımız (ac+bd)/2  'den büyük olamaz

[geo]

ABCD dörtgeninin BD köşegeni üzerinde BC'CD ikizkenar yamuğunu kuralım.
ABC'D dörtgeni kenarları sırasıyla a,c,b,d olan ve alanı ABCD dörtgeninin alanına eşit olan bir dörtgendir.
Max(Alan(ABC'))=ac/2, Max(Alan(ADC'))=bd/2 olduğu için Max(ABC'D)=Max(ABCD)=(ac+bd)/2 dir.