Viviani Teoremi

[alpercay]

Teorem. Eşkenar üçgenin iç bölgesinde alınan isteksel bir noktanın üçgenin kenarlarına olan uzaklıkları  toplamı sabit olup bu toplam  üçgenin yüksekliğine eşittir.

[Lokman Gökçe]

Eşkenar $ABC$ üçgenin bir kenar uzunluğu $a$ ve yüksekliği $h$ olsun. Üçgenin içinden alınan keyfi $P$ noktasının kenarlara olan uzaklıkları $x,y,z$ olsun. $Alan(ABC)=Alan(ABP)+Alan(BCP)+Alan(CAP)$ olduğundan $\dfrac{a \cdot h}{2}=\dfrac{x \cdot h}{2}+\dfrac{y \cdot h}{2}+\dfrac{z \cdot h}{2}$ olup $x+y+z=h$ elde edilir. Göstermek istediğimiz de zaten buydu.

Daha genel olarak şu teoremi yazabiliriz:

Teorem: Herhangi bir düzgün çokgenin içinden alınan keyfi bir noktanın  kenarlara (gerekirse uzantılarına) olan uzaklıklarının toplamı sabittir.