Tübitak Lise Takım Seçme 1989 Soru 6

[Lokman Gökçe]

$ABC$ ($AB=AC$) ikizkenar üçgeninin çevrel çemberine dıştan teğet olan çember $AB$ ve $AC$ doğrularına $P$ ve $Q$ noktalarında teğettir. $PQ$ doğru parçasının $I$ orta noktasının, üçgenin $BC$'ye dıştan teğet olan çemberinin (dış teğet çember) merkezi olduğunu ispat ediniz.

[geo]

Çevrel çemberin merkezi $O$, diğer çemberin merkezi $J$ olsun. Bu iki çember birbirlerine $T$ de dokunsun. $OA=r$, $JT=R$ diyelim.
$O,T,J,I$ nın doğrusal olduğunu görmek çok zor olmasa gerek. Bu durumda $\angle PBI = \angle IBC$ olduğunu gösterince $I$ nın dış teğet çemberin merkezi olacağı da açık.
$\angle BAT = \alpha$ dersek, $\angle TBC = \angle JPQ = \alpha$ olacaktır. Bu durumda, $AB=2r\cos \alpha$, $AP = 2(r+R)\cos \alpha$ ve $BP=2R\cos \alpha$ olacaktır. Aynı zamanda $\triangle IPJ$ de $PI = PJ \cos \alpha = 2R\cos \alpha = BP$ dir. $BC \parallel PQ$ ve $\angle PBI = \angle PIB$ olduğu için $\angle CBI = \angle PIB = \angle PBI$ olur. Yani $BI$ bir dış açıortay, $AI$ da bir iç açıortay olduğu için $I$ bir dış merkezdir.

[sgmx]

$BC$ nin orta noktasını $K$, çevrel çemberi $c_{1}$, $AB$ ve $AC$ doğrularına $P$ ve $Q$ noktalarında teğet olan çemberi $c_{2}$, teğet noktasını $L$ ve $c_{2}$ nin merkezini $M$ olarak adlandıralım. $A,K,L,I,M$ doğrusal olur. Ayrıca $BK=CK$ ve $BC\bot AL$ olduğundan $AL$ çaptır. $\angle ACL=90^{\circ}$ olur. $\angle ACK=2x^{\circ}$ dersek, $\angle CLA=\angle QMA=2x^{\circ}$ olur. $MQ=ML$ olduğundan $\angle MLQ=90-x^{\circ}$ olur. $LCQI$ kirişler dörtgeninden $\angle ILQ=\angle ICQ=90-x^{\circ}$ olur ve böylece $\angle KCI=90-x^{\circ}$ olur. $AI$ içaçıortay, $CI$ dışaçıortay olduğundan, $I$ noktası üçgenin $BC$ ye ait dış teğet çemberinin merkezidir.