$EBOB(m,k)$ fonksiyonunun bu verilen şartları sağladığını görmek kolaydır. Şimdi bunu ispatlayalım. Öncelikle $m\mid k$ durumunu inceleyelim. Bu durumda $k=ma$ olarak yazarsak $$f(m,k)=f(m,ma)=f(m,m(a-1))=\cdots=f(m,m)=m=EBOB(m,k)$$ olacaktır. Şimdi $m\neq k$ için ebob'a ulaşana kadar Öklit algoritması uygulayalım. Genelliği bozmadan $m>k$ kabul edebiliriz. $$m=q_0k+r_0$$ $$k=q_1r_0+r_1$$ $$r_0=q_2r_1+r_2$$ $$r_1=q_3r_2+r_3$$ $$\vdots$$ $$r_{n-2}=q_{n}r_{n-1}+r_n$$ ve $r_n=EBOB(m,k)$ diyebiliriz. Burada $i=1,2,\dots, n$ için $0\leq r_i<r_{i-1}$ ve $0< r_0<k$'dır. Daha fazla devam edemediğimizden $r_n\mid r_{n-1}$'dir (Öklit algoritmasında en son ebob'a ulaşabiliriz, devam edersek $0$ kalanı vermeye başlayacaktır). Şimdi ikinci ve üçüncü şartı kullanalım. Aşağıdaki eşitliklerde üçüncü şartı birden fazla defa kullanıyoruz bu yüzden direkt sonucunu yazıyorum. $$f(m,k)=f(k,m)=f(k, q_0k+r_0)=f(k,r_0)=f(r_0,k)=f(r_0,q_1r_0+r_1)=f(r_0,r_1)$$ ve bu şekilde devam edersek $$\cdots =f(r_n,r_{n-1})=r_n=EBOB(m,k)$$ olacaktır çünkü $r_n\mid r_{n-1}$'dir. Dolayısıyla her $m,k\in \mathbb{Z}^+$ için $\boxed{f(m,k)=EBOB(m,k)}$'dir.
Örnek verelim. $f(12,9)$'u hesaplayalım, $$f(12,9)=f(9,12)=f(9,3)=f(3,9)=f(3,6)=f(3,3)=3=EBOB(12,9)$$
