Tübitak Lise 2. Aşama 1992 Soru 1

[Lokman Gökçe]

Beş çiftin katıldığı bir partide, katılanların bir bölümü birbirleriyle el sıkışırlar. Hiç kimse doğal olarak ne kendi kendisiyle ne de eşiyle el sıkışır. Partiye katılanlardan biri, kendi dışındaki (eşi de dahil olmak üzere) dokuz kişiye kaç kişiyle el sıkışmış olduklarını sorar. Aldığı yanıtlara bakınca, bu dokuz kişi içinde eşit sayıda kişiyle el sıkışmış herhangi iki kişinin bulunmadığını görür. Diğerlerine kaç kişiyle sıkıştıklarını soran kişinin eşinin kaç kişiyle el sıkışmış olduğunu bulunuz.

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

Çok hoş bir sonlu matematik sorusu. Çözümünü yapalım:

Kendi dışındaki kişilere kaç kişiyle tokalaştıklarını soran kişi $X$ olsun. Diğer dokuz kişi de (tokalaşma sayıları itibariyle küçükten büyüğe) $A_1,A_2, \dots , A_9$ olsun. Bu $10$ kişinin tokalaşma sayıları sırasıyla $x,a_1,a_2, \dots, a_9$ olsun. $i \neq j $ iken $a_i \neq a_j$ olduğu veriliyor. Ayrıca her $i = 1, 2, \dots ,9$ için $ 0 \leq a_i \leq 8$ dir. Bu eşitsizliklerden dolayı $ a_i = i - 1$ olmak zorundadır.

$a_9 = 8$ ve $a_1 = 0$ olduğundan $A_9$'un elini sıktığı kişiler $X, A_2, \dots, A_8$ dir. Bu durumda $A_9$, $A_1$ hariç herkesle tokalaşmıştır. Dolayısıyla $A_9$ ile $A_1$ birbirinin eşidir.

$a_2=1$ dir. $A_2$ ile tokalaşan bu $1$ kişi de $A_9$ olduğundan $A_2$ ile, $A_9$ dan başka tokalaşan kimse olmamıştır.

$a_8 = 7$ dir. Dolayısıyla $A_8$, $A_1,A_2$ (ve kendi kendiyle) tokalaşmamış olduğundan bu $2$ kişi dışındaki herkesle tokalaşmıştır. $A_8$ in eşi $A_1$ olamayacağına göre $A_2$ olmak zorundadır. $A_8$ ile $A_2$ birbirinin eşidir.

Benzer düşünce ile devam edilirse $A_7$ ile $A_3$, $A_6$ ile $A_4$ birbirinin eşidir. Dolayısıyla $X$ ile $A_5$ birbirinin eşi olmak zorundadır. Bizden istenen $X$ in eşinin el sıkışma sayısı yani, $a_5 = 4$ değeridir.

[Lokman Gökçe]

YORUM: $X$ in el sıkışma sayısı istenirse $x=4$ tür. Çünkü yukarıda yaptığımız hesaba göre $X$ ile el sıkışanlar $A_9, A_8, A_7, A_6$ olmuştur.