Tübitak Lise 2. Aşama 2002 Soru 6

[geo]

$n$ pozitif bir tam sayı olsun ve $\mathbf{R}^n$ ile sıralı gerçel sayı $n$ lilerinin kümesini gösterelim.  $1,2,\dots, n$ sayılarının, her $i\in\{1,2,\dots, n-1\}$ için, $x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (i+1)}\ge 1$ eşitsizliğini sağlayan bir $\sigma $ permütasyonunun bulunduğu $\mathbf{R}^n$ ye ait $(x_1,x_2,\dots, x_n)$ elemanlarının kümesini de $T$ ile gösterelim. Aşağıdaki koşulu sağlayan bir $d$ gerçel sayısının bulunduğunu kanıtlayınız:
Her $(a_1,a_2,\dots, a_n)\in \mathbf{R}^n$ için,
$$a_{i}=\dfrac{1}{2}(b_{i}+c_{i}), \quad \vert a_{i}-b_{i}\vert \le d, \quad \vert a_{i}-c_{i}\vert \le d \quad (1 \leq i \leq n)$$ koşullarını yerine getiren $
(b_{1},\ldots ,b_{n}), (c_{1},\ldots ,c_{n}) \in T$ vardır.