x-3x Üçgeni

[alpercay]

Bir açısı  $<A = 3<B$  ve kenarları tamsayı olan benzer olmayan $ABC$ üçgenlerini karakterize ediniz.

[geo]

ispattan önce cevabı verelim:
http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_triangle#Integer_triangles_with_one_angle_three_times_another

[alpercay]

$<A = 3<B$ olan $ABC$ üçgeni için kenarlar arasındaki bağıntıyı  trigonometriden bulalım:(işlemleri kısaltarak yazıyorum)

$a = 2RsinA,   b = 2RsinB,   c =2RsinC$ (sinüs teoremi)

$a / b = 4cos^2B - 1$

$c / b = 4cosB(2cos^2B - 1)$

eşitliklerinden   $c = (a - b)\sqrt{1 + (a / b)}$

eşitliği elde edilir.